Teorema del coeficiente universal: ¿qué tipo de morfismos?

Question

Dejemos que $G$ ser un $R$ -módulo, donde $R$ es un P.I.D., y que $X$ sea un espacio topológico. Tenemos la secuencia exacta

$$0 \rightarrow H_n(X) \otimes G \rightarrow H_n(X; G) \rightarrow \text{Tor}(H_{n-1}(X), G) \rightarrow 0.$$

Los objetos de esta secuencia son $R$ -módulos.

Pregunta: ¿Son los homomorfismos de esta secuencia $R$ -homomorfismos de módulos o simplemente $\mathbb{Z}$ -¿homorfismos de módulos?

Observación: Hatcher, Spanier, Google y las demás referencias que he buscado no lo dicen explícitamente, y no me queda claro.

Answer 1

Sí, los morfismos son $R$ -morfismos de módulos. Esto es muy fácil de ver usando algunas tonterías abstractas. Todo aquí es functorial en $G$ es decir, si $f:G\to G'$ es un $\mathbb{Z}$ -el diagrama inducido

$$\begin{array}{c} H_\ast(X)\otimes G & \rightarrow & H_\ast(X;G) & \rightarrow & Tor(H_{\ast-1}(X),G) \\ \downarrow & & \downarrow & & \downarrow \\ H_\ast(X)\otimes G' & \rightarrow & H_\ast(X;G') & \rightarrow & Tor(H_{\ast-1}(X),G') \end{array}$$

se desplaza. Ahora, establezcamos $G':=G$ y $f(g):=rg$ para algunos $r\in R$ y se obtendrá que los mapas conmutan con la multiplicación por elementos de $R$ : En otras palabras, los mapas son $R$ -morfismos de módulos.