Si $\phi: G \to H$ es un isomorfismo, demuestre que $G$ es abeliano si y sólo si $H$ es abeliano

Question

Me gustaría saber si mi demostración es correcta. En concreto, me gustaría que comprobaras que la surjetividad es necesaria para demostrar la primera parte y la inyectividad es necesaria para demostrar la segunda parte.

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Problema Si $\phi: G \to H$ es un isomorfismo, demuestre que $G$ es abeliano si y sólo si $H$ es abeliana.

Solución

Dejemos que $\phi: G \to H$ sea un isomorfismo.

• Si $G$ es abeliano, tenemos $xy = yx$ para cualquier $x,y \in G$ . Considere dos elementos cualesquiera en $H$ , digamos que $c$ y $d$ . Desde $\phi$ es un isomorfismo (más concretamente una suryección), tenemos $c = \phi(a)$ y $d=\phi(b)$ para algunos $a,b \in G$ . Por lo tanto, $$cd = \phi(a)\phi(b) = \phi(ab) = \phi(ba) = \phi(b)\phi(a) = dc$$ Esto significa que $H$ también es abeliano.
• Si $H$ es abeliano, tenemos $xy = yx$ para cualquier $x,y \in H$ . Consideremos ahora dos elementos en $G$ , digamos que $a$ y $b$ . Desde $\phi$ es un mapeo, tenemos $c=\phi(a)$ y $d=\phi(b)$ para algunos $c,d \in H$ . Por lo tanto, $$\phi(ab) = \phi(a)\phi(b) = cd = dc = \phi(b) \phi(a) = \phi(ba)$$ Desde $\phi$ es un isomorfismo (más concretamente inyectivo), tenemos $ab = ba$ . Esto significa que $G$ también es abeliano.

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Gracias

Answer 1

Su prueba está muy bien escrita.

Has demostrado precisamente lo que tenías que demostrar, y lo has hecho basándote únicamente en las definiciones de "isomorfismo" y "conmutatividad", trabajando con las herramientas que has adquirido hasta ahora.

¡Bravo!

Nota:

Cuando me encontré por primera vez con el "álgebra abstracta" y con lo que significa que dos grupos sean isomorfos, recuerdo haber completado pruebas para verificar todas las formas en que un isomorfismo entre grupos preserva las "estructuras" del grupo, siendo la conmutatividad una de esas propiedades estructurales entre muchas otras.

Mi instructor de entonces era muy exigente, hasta el más mínimo detalle, exigiendo la justificación de cada afirmación en una prueba. Le habría gustado su apelación explícita al hecho de que, como isomorfismo, $\phi$ es surjetivo, y también su apelación explícita a la definición de $\phi$ como cartografía y una inyección.

Ahora bien, en el caso de que tengas un instructor de este tipo, mi única sugerencia sería

• para añadir algo como lo que he incluido con "apoyos" a continuación:

$$cd = \phi(a)\phi(b) = \underbrace{\phi(ab) = \phi(ba)}_{G\;\text{is abelian}} = \phi(b)\phi(a) = dc$$ $$\phi(ab) = \phi(a)\phi(b) = \underbrace{cd = dc}_{H\;\text{is abelian}} = \phi(b) \phi(a) = \phi(ba)$$