Director de divisores

Question

¿Cómo puedo calcular el director divisor $(f)$ donde

$$f = \frac{(x^{3}-1)}{(x^{4}-1)}$$

con $f\in\mathbb{F}_2(x)$. Yo soy poco de lectura sobre el tema, así que estoy buscando una solución sencilla (la más clara, mejor)

Cualquier persona puede dar al menos una idea?

Answer 1

La descomposición en factores irreducibles es $$f = \frac{x^2+x+1}{(x-1)^3}.$$ Esto demuestra que $f$ tiene un polo de orden $3$ en el racional del punto correspondiente a la máxima ideal $(x-1) \subseteq \mathbb{F}_2[x]$, $f$ tiene un cero de orden $1$ en el punto de cierre de grado $2$ correspondiente a la máxima ideal $(x^2+x+1) \subseteq \mathbb{F}_2[x]$. Sigue $$\mathrm{div}(f)|_{\mathbb{A}^1_{\mathbb{F}_2}} = 2 [x^2+x+1] - 3 [x-1].$$ Ya que todo el principal divisor $\mathrm{div}(f)$ $\mathbb{P}^1_{\mathbb{F}_2}$ tiene, como siempre, el grado $0$, de la siguiente manera $$\mathrm{div}(f) = 2 [x^2+x+1] - 3 [x-1] + 1 [\infty].$$ Esto también se puede comprobar directamente: Para $t=\frac{1}{x}$ tenemos $f = t \cdot \frac{1 - t^3}{1 - t^4}$, por lo que el orden en$\infty$$1$.

Si $\mathbb{F}_4=\{0,1,\alpha,\beta\}$, también se puede escribir $\mathrm{div}(f) = 2 [\alpha] - 3 [1] + 1 [\infty]$.

Answer 2

El divisor en el afín a la línea de $\mathbb{F}_2$? Es casi demasiado simple: son esencialmente sólo el primer factorizations. (e ignorar unidades)