Considere la posibilidad de la "declaración" $(\exists k\in \mathbb{N})(a=2k)$. No tiene sentido debido a que $a$ no está cuantificado (no $\forall$ o $\exists$ asociado con él). No se puede saber si esa "declaración" es verdadero o falso, porque no es una declaración. La fórmula siguiente es una declaración: $(\forall a\in \mathbb{R})(\exists k\in \mathbb{N})(a=2k)$, usted puede decir si es verdadero o falso.
Respecto a tu pregunta, $x$ $y$ no están cuantificados. Yo bien podría asumir la $x,y$ $$(\forall \epsilon>0) (\exists\delta>0) \bigl((x,y\in S \wedge \vert x-y\vert<\delta)\Rightarrow\vert f(x)-f(y)\vert<\epsilon\bigr) \tag 1$$
son existencial, lo que significa que podría interpretar el anterior pseudo-declaración en el sentido de $$(\forall \epsilon>0) (\exists\delta>0) (\exists x,y)\bigl((x,y\in S \wedge \vert x-y\vert<\delta)\Rightarrow\vert f(x)-f(y)\vert<\epsilon\bigr) \tag 2$$
que no es lo que usted quiere.
Por favor, tenga en cuenta que lo que he dicho antes era meramente intuitiva para el tema en cuestión. Yo simplemente no puede decidir que $(1)$$(2)$, no puedo decidir significa nada, porque no es una declaración.
Surge la pregunta: ¿qué es un estado? La respuesta a esa pregunta no es adecuada para publicar aquí, creo. Sin embargo @dtldarek ya ha proporcionado alguna información sobre eso.
Sé que en la literatura de que encontrarás "definiciones" de la continuidad. Bien, que está mal escrito. Sé que es difícil de creer, pero ese es el caso.
Si cualquiera de las variables en una fórmula no está cuantificado, luego de que la fórmula no es una declaración y no tiene ningún significado.
Edit: El problema siguiente es análoga a tu pregunta, la diferencia es que las fórmulas que se barajan son las declaraciones. Esperemos que esto le sirva de ayuda:
$$(\forall \epsilon>0) (\exists\delta>0) (\forall x,y)\bigl((x,y\in S \wedge \vert x-y\vert<\delta)\Rightarrow\vert f(x)-f(y)\vert<\epsilon\bigr) \tag i$$
$$(\forall \epsilon>0) (\exists\delta>0) (\forall x,y\in S)\bigl((\vert x-y\vert<\delta)\Rightarrow\vert f(x)-f(y)\vert<\epsilon\bigr) \tag {ii})$$
Se $(i)$ $(ii)$ equivalente? En realidad no lo son y que la equivalencia es "muy fuerte". Es más que el hecho de que se puede concluir la una de la otra. La declaración de $(ii)$ es el resumen de la notación para el formalmente correcta $(i)$.
(En el párrafo anterior decidí ignorar la cuantificación relativa $\delta$$\epsilon$, para el bien de la simplicidad. La cuantificación relativa $\delta$ $\epsilon$ tiene que ser tratada de una manera similar).
Permítanme ilustrar esto con una versión más simple de este problema.
La declaración de $(\forall x\in \mathbb{R})(x\ge 0)$, (que es obviamente falso, pero que de ningún interés para nosotros) es corto para el formalmente correcta $(\forall x)(x\in \mathbb{R} \Longrightarrow x\ge 0)$. El cuantificador existencial $\exists$ es un poco diferente. Considere la posibilidad de la declaración de $(\exists n\in \mathbb{N})(n=1337)$. Por supuesto, esto es sólo corto para $(\exists n)(n\in \mathbb{N} \wedge n=1337)$ y no se corta para los tontos $(\exists n)(n\in \mathbb{N} \Longrightarrow n=1337)$. Bueno, no es tonto, simplemente no es lo que uno esperaría $(\exists n\in \mathbb{N})(n=1337)$ a la media.
