¿Hay alguna que no sea trivial ejemplos de contradicciones derivadas de la no-fundacional o matemáticas aplicadas debido a la ingenua teoría de conjuntos?

Question

Entiendo que la ingenua teoría de conjuntos, cuyos axiomas son extensionality y sin restricciones de la comprensión, es incoherente, debido a paradojas como la de Russell, el Curry, el Cantor, y Burali-Forti.

Pero todas estas me parece como patológico, esotérico, ad-hoc ejemplos, que realmente sólo se trata de los cimientos, y la mayoría de los no-fundamentales y aplicados de las matemáticas no ir a ninguna parte cerca de tocarlos.

Estoy mal aquí? Si vamos a hacer no-fundamentos matemáticos más ingenuo de la teoría de conjuntos y simplemente ignorar las paradojas, ¿qué problemas puede que nos enfrentamos? Sí, yo sé que técnicamente puede demostrar $0=1$, por lógica, pero estoy buscando ejemplos más interesantes, en particular de aquellos que podrían surgir sin tener que buscar específicamente para ellos.

Pregunta: a Pesar de que los aspectos técnicos como de explosión, hay "natural" de los ejemplos de las contradicciones derivadas de la no-fundacional o matemáticas aplicadas debido a las paradojas de la teoría de conjuntos ingenua?

¿Alguien ha llegado a una declaración falsa en, digamos, el álgebra o la teoría de los números, utilizando ingenua de conjuntos?

edit: me gustaría aclarar que estoy jugando al abogado del diablo. Estoy de curso en cuenta que depender de una teoría inconsistente es en general una mala idea, pero por supuesto no todos los viciados estructuras de colapso inmediato. Cuán lejos podemos ir en la práctica antes de que nos topamos con problemas?

edit: Por "no-fundacional" que básicamente significa nada fuera de la teoría de conjuntos o de la lógica matemática. Si la pregunta de una teoría de la coherencia en todos (este experimento de pensamiento, no obstante), entonces es probable que "fundacional". Pero por supuesto difusa.

Answer 1

Con una lo suficientemente estricta definición de "no-fundacional de las matemáticas" yo creo que la respuesta es probablemente "no" (aunque yo estaría muy interesado en ver el potencial de ejemplos). Sin embargo, esto no debe hacer que los matemáticos que trabajan en dichas matemáticas sentirse seguro acerca del uso irrestricto de la comprensión. La razón es que no siempre está claro a priori qué es la matemática que va a ser "fundamental".

De hecho, la gente puede empezar a trabajar en algo de matemáticas que parece no fundacional, pero luego se convierte en una fundacional de la dirección. Por ejemplo, el Cantor del desarrollo de la teoría de conjuntos fue una consecuencia natural de su estudio de los conjuntos de singularidad en el análisis armónico.

Si alguien que trabaja en un supuesto que no-fundacional de la rama de las matemáticas que terminaron con una contradicción mediante el uso sin restricciones de la comprensión, a continuación, con el beneficio de la retrospectiva, podríamos decir que él o ella debe haber estado trabajando en un área relacionada con las fundaciones, después de todo.

Podría parecer como hacer trampa para hacer esa declaración, después del hecho, pero quizás no lo es: parece probable que, a partir de un nuevo uso sin restricciones de comprensión para obtener una contradicción, se podría obtener un nuevo uso de la sustitución para obtener un teorema que no podrían haber sido obtenidos sin reemplazo (es decir, utilizando únicamente la comprensión). Digo esto porque el reemplazo natural es que paso intermedio entre con y sin restricciones de comprensión.

Las matemáticas que utiliza la sustitución de una forma esencial a menudo se considera ipso facto a ser fundamental. Así que pienso que es probable que las matemáticas que utiliza sin restricciones de comprensión de un modo esencial (en la medida en que puede ser recuperado) sería considerado fundacional así.

(Esta respuesta no aborda la pregunta de cuánto tiempo, en promedio, se iba a llevar a la gente el uso sin restricciones de la comprensión de la no-fundacional-de aparente áreas de las matemáticas a ejecutar en problemas. Creo que esa pregunta es muy interesante, pero probablemente también muy difícil de responder.)

Answer 2

La idea de la utilización de la teoría de conjuntos como fundacional de la teoría es que quieres una teoría de que si usted cree que es consistente, el resto de las matemáticas es consistente.

Ingenuo de la teoría de conjuntos es inconsistente. Así que realmente no pueden continuar, usted no puede confiar en él para darle el resto de las matemáticas. Y lo importante no es que "no parecen apelar a las paradojas".

Axiomático conjunto de teorías, como $\sf ZFC$, que vienen a hacer un esfuerzo para al menos luchar contra los problemas que surgen con la ingenua teoría de conjuntos.

¿Por qué debe usted realmente la atención acerca de los axiomas de $\sf ZFC$? Usted no debe. Usted debe preocuparse por el hecho de que $\sf ZFC$ es suficiente para desarrollar el modelo básico de la teoría, y crear el resto de las matemáticas dentro de su universo. Y esto hace que la teoría de conjuntos como el back-end de la arquitectura de la CPU. ¿Realmente se preocupan de que su equipo está utilizando un Alfa de back-end o un SPARC back-end? No. Te cuidado que es capaz de ejecutar Invasores de Pollo, o de YouTube, o $\LaTeX$.

Por supuesto, si usted está interesado en las matemáticas, entonces usted debe aprender al menos un poco acerca de cómo este procesador funciona. Como aprendizaje de la programación consiste en la comprensión del sistema operativo, o el diseño de hardware. Así que usted debe cuidar porque quieres saber cómo las matemáticas se está modelando, pero en general usted debe preocuparse porque los que la teoría de conjuntos se puede probar malo para usted.

Answer 3

Yo creo que:

• Esta respuesta en MathOverflow es relevante.
• Este documento es señalar el contraejemplo.
• Este trabajo es la reparación de la declaración original.

El teorema es en álgebra, y es acerca de si el $\lim^1$ functor se desvanece en Mittag-Leffler secuencias en abelian categorías de la satisfacción de ciertos axiomas. Con el fin de corregir el error, el autor tuvo que agregar una pequeñez condición.

Yo también creo que la no-existencia de un libre completar álgebra Booleana en un countably conjunto infinito de los generadores podrían ser considerados, aunque tal vez completar álgebras Booleanas son más explícitamente "fundacional".

Answer 4

Bueno, yo no confiar en un edificio cuya estructura fue demostrado ser errónea. Tenga en cuenta que no es una sospecha, es una certeza.

Pero yo sé lo que quieres decir con tu pregunta... considerar la siguiente "prueba" (tomado de otra pregunta en MSE):

Teorema: Dejar que $K$ ser un campo, entonces $K$ ha algebraica de cierre de $\bar{K}$ i.e algebraica de extensión que es algebraicamente cerrado).

La "prueba": Definir $A=\{ F \supset K | F \text{ es una extensión algebraica de } K\}$ y heredar este con el habitual orden parcial de la inclusión. Uno puede comprobar que el lema de Zorn se aplica (la unión de un anidada de la cadena de extensiones algebraicas es en sí mismo algebraicas). Por lo tanto, $\overline{K}$ a ser un elemento maximal. Debe ser algebraicamente cerrado de lo contrario, no es un polinomio irreducible con raíz en algún estrictamente más grande de campo. $\blacksquare$

¿Usted confía en esto, como es?

Answer 5

No es contrario a la intuición de un contraejemplo de la teoría de problemas inversos de una que no se pueden medir la conductividad en un disco que no es distinguible de un homogéneo w/límite del círculo de mediciones eléctricas. Esto implica una función $f(r):[0,1]\rightarrow R^+$, tal que $f(r^n)=f(r)$ para todos los números naturales $n$. La construcción de una función de este tipo involes un no-medibles conjunto y el Axioma de elección. Los problemas inversos son relativamente matemáticas aplicadas w/apllications por ejemplo, para las imágenes médicas.