¿Por qué los electrones en el grafeno se comportan como fermiones de Dirac cerca de los puntos de Dirac?

Question

Yo he estado aprendiendo sobre el grafeno, y recientemente he calculado la estructura de bandas para usar con un vecino más cercano de la estrecha unión de modelo para la $\pi$ electrones:

$$\varepsilon(\vec k)=\pm t\sqrt{3+2 \cos \left(\frac{\sqrt{3} k_x}{2}-\frac{3 k_y}{2}\right)+2 \cos \left(\frac{\sqrt{3} k_x}{2}+\frac{3 k_y}{2}\right)+2 \cos \left(\sqrt{3} k_x\right)}$$

Me dijeron que la dispersión de grafeno alrededor de Dirac puntos (puntos en $k$espacio donde: $\varepsilon(\vec k)=0$ -- estos resultan ser los vértices de la zona de Brillouin) es lineal, y esta linealidad conduce a la partícula se comporta como una Dirac fermión. He parcialmente confirmada la linealidad, pero no sé por dónde empezar a comprobar la segunda parte.

Wikipedia menciona las siguientes:

Se dio cuenta de que, desde 1947, P. R. Wallace que el E–k relación es lineal para bajas energías, cerca de las seis esquinas de las dos dimensiones de la hexagonal de la zona de Brillouin, que conduce a cero masa efectiva de los electrones y los huecos. Debido a esto lineal (o "cónico") relación de dispersión a bajas energías, los electrones y los huecos cerca de estos seis puntos, dos de los cuales son no equivalentes, se comportan como partículas relativistas descrito por la ecuación de Dirac para el spin-1/2 partículas. Por lo tanto, los electrones y los huecos se llaman fermiones de Dirac también llamado graphinos, y las seis esquinas de la zona de Brillouin se llaman los puntos de Dirac.

Podría alguien explicar cómo un localmente cónica $\epsilon(\vec k)$ gráfico conduce a una Dirac fermión? Todavía no he trabajado con la ecuación de Dirac a mí mismo.

Answer 1

En el cálculo de la dispersión de electrones probablemente obtuvo el diagonalized de Hamilton en el impulso de espacio

$$ H=\sum_\mathbf{k}\left[c^{\dagger}_{\mathbf{k}A},c^{\dagger}_{\mathbf{k}B}\right]\left[\begin{array}{cc}0 & \Delta(\mathbf{k})\\ \Delta^{\dagger}(\mathbf{k}) &0\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}c_{\mathbf{k}A} \\ c_{\mathbf{k}B}\end{array}\right]. $$

Si usted elige su $x$ eje zig-zag a lo largo de la dirección (arXiv:1004.3396), los dos nonequivalent Dirac valles $\mathbf{K}_\kappa=\left(\kappa\frac{4\pi}{3\sqrt{3}a},0\right)$, $\kappa=\pm1$ y $\mathbf{K}_{-1}=\mathbf{K}^{\prime}$ donde $a$ es el C-C distancia. A continuación, $\Delta(\mathbf{k})=-t\left(1+e^{-i\mathbf{k}\cdot\mathbf{a}_1}+e^{-i\mathbf{k}\cdot\mathbf{a}_2}\right)$ donde $t$ es el salto de plazo, y $\mathbf{a}_1=\left(\sqrt{3}a/2,3a/2\right)$ $\mathbf{a}_2=\left(-\sqrt{3}a/2,3a/2\right)$ son el entramado de los vectores.

La expansión de Taylor $\Delta(\mathbf{k})$ hasta los términos lineales en torno a los dos puntos que obtenga

$$ \Delta(\mathbf{k})=\kappa\frac{3ta}{2}q_x-i\frac{3ta}{2}q_y $$

donde $\mathbf{q}$ es el desplazamiento momenta de la $\mathbf{K}_\kappa$ punto. La promoción de estos desplazamientos ímpetus a los operadores a obtener el Hamiltoniano

$$ H=\manejadores v_F\left[\begin{array}{cccc}0 & q_x-iq_y & 0 & 0\\q_x+iq_y & 0 & 0 & 0\\0 & 0 & 0 & -q_x-iq_y\\0 & 0 & -q_x+iq_y & 0\end{array}\right] $$

donde $v_F=\frac{3ta}{2\hbar}$ es la velocidad de Fermi. Esto es en $\left[\Psi_{A\mathbf{K}},\Psi_{B\mathbf{K}},\Psi_{A\mathbf{K}^{\prime}},\Psi_{B\mathbf{K}^{\prime}}\right]^T$, si reorganizar su base como $\left[\Psi_{A\mathbf{K}},\Psi_{B\mathbf{K}},\Psi_{B\mathbf{K}^{\prime}},\Psi_{A\mathbf{K}^{\prime}}\right]^T$ usted obtiene la forma compacta

$$ H=\manejadores v_F\tau_z\otimes\boldsymbol{\sigma}\cdot\mathbf{k} $$

donde $\tau_z$ hechos en el valle de espacio. Esto es similar a la de Dirac-Weyl ecuación relativista partículas sin masa, donde en lugar de $v_F$ usted obtiene la velocidad de la luz

$$ H=\pm\manejadores c\boldsymbol{\sigma}\cdot\mathbf{k} $$

donde $+$ denota la mano derecha antineutrions, y $-$ denota zurdo neutrions. Las diferencias son que $\boldsymbol{\sigma}=\left(\sigma_x,\sigma_y\right)$ de grafeno actos en pseudospin espacio y $\boldsymbol{\sigma}=\left(\sigma_x,\sigma_y,\sigma_z\right)$ neutrinos actos en real spin espacio.