$A^2=I,\det A>0$ implica $A+I$ es no-singular

Question

Pregunta:

Si una matriz cuadrada $A$ satisface $A^2=I$$\det A>0$, muestran que $A+I$ es no singular.

He intentado supongamos que un no-vector cero $x$ s.t. $Ax=x$ pero no para hacer una contradicción.

Y traté de encontrar la inversa de la matriz de $A+I$ directamente, supongamos $(A+I)^{-1}=\alpha I +\beta A$, pero todavía no funciona.

(Actualización: de Acuerdo a los dos respuestas a esta pregunta en sí misma es incorrecto).

Answer 1

Este parece ser falso: considerar el $3 \times 3$ diagonal de la matriz diagonal con entradas de $1,-1,-1$. Del mismo modo, teniendo un $n \times n$ matriz diagonal con dos entradas de $-1$ y el resto igual a $1$ da un contraejemplo para cualquier $n \geq 2$.

(Un comentario sobre cómo se me ocurrió esto: la matriz $A+I$ es singular iff $-I-A$ es singular iff $-1$ es un autovalor de a $A$. La condición de $A^2 = I$ fuerzas de cada uno de los autovalores a ser $\pm 1$ y la condición de $\operatorname{det} A > 0$ fuerzas el número de instancias de $-1$ a ser, incluso, pero esto no es suficiente para dar el resultado.)

Por supuesto, el anterior razonamiento también daría lugar a Ricky de Vacaciones del contraejemplo, y probablemente debería haber. Por alguna razón pensé en la de arriba primero.

Answer 2

$(I+A)(I-A)=0$, lo $I+A$ es invertible (por $A$ satisfacción $A^2=I$) si y sólo si $A=I$.

Esto funciona para $A$ en cualquier anillo con unidad en que $2$ es invertible], no sólo un anillo de matrices cuadradas.

Answer 3

$-I$ con tamaño uniforme es un contraejemplo.