La unicidad de la función gamma

Question

Es un teorema que cualquier función $f$ definido para números reales positivos que satisfacen

1. $f(1)=1$
2. $f(x+1)=x\cdot f(x)$
3. $f$ es log convexo

es idénticamente igual a la función gamma. (La condición 2 significa que esta función interpola una función factorial desplazada).

Ahora, un principiante (como yo) podría preguntar: ¿Y si debilitamos la condición 2 exigiendo en su lugar $f$ para ser meramente convexo, no log convexo?

Me imagino que estas funciones no serán muy diferentes, ya que intuitivamente, no puedo desviar salvajemente la gráfica de la función gamma si quiero mantener la condición 2 y seguir siendo convexo.

Sólo una reflexión posterior ¿Y si en lugar de la condición 3, exigimos convexidad y diferenciabilidad infinita? ¿Seguimos determinando de forma única la función gamma?

Answer 1

(Esto debería ser un comentario o CW).

Peter Luschny estudió una serie de funciones tipo gamma que no tienen la imposición logarítmica-convexa; tal vez quieras buscar en ellas para inspirarte.