La prueba de hipótesis. ¿Por qué el centro de la distribución de muestreo de H0?

Question

Un p-valor es la probabilidad de obtener una estadística que es al menos tan extremo como el observado en los datos de la muestra al asumir que el contraste de hipótesis ($H_0$) es verdadera.

Gráficamente esto se corresponde con el área definida por la muestra estadística en virtud de la distribución de muestreo de la cual uno puede obtener al asumiendo $H_0$:

Sin embargo, debido a la forma de este supuesto de distribución está basada en los datos de la muestra, centrándolo en el $\mu_0$ puede parecer una elección extraña para mí.
Si uno en lugar de utilizar la distribución de muestreo de la estadística, es decir, el centro de la distribución en la muestra estadística, a continuación, la prueba de hipótesis corresponde a la estimación de la probabilidad de $\mu_0$ de las muestras.

En ese caso, el p-valor es la probabilidad de obtener una estadística de al menos tan extremo como el $\mu_0$ dado los datos en lugar de la definición anterior.

Además, esta interpretación tiene la ventaja de relacionarse con el concepto de intervalos de confianza:
Una prueba de hipótesis con un nivel de significación del $\alpha$ sería equivalente a la comprobación de si $\mu_0$ cae dentro de la $(1-\alpha)$ intervalo de confianza de la distribución de muestreo.

Por lo tanto, me siento que el centrado de la distribución en $\mu_0$ podría ser un innecesarios complicación.
Hay importantes justificaciones para este paso que yo no considerar?

Answer 1

Sin embargo, debido a la forma de este supuesto de distribución está basada en los datos de la muestra, centrándola en H0 parece una elección extraña para mí.

Esto en realidad no es cierto. La forma de este supuesto de la distribución proviene de la aceptación de $H_0$ como verdadero. La muestra no está directamente implicado en la que, aparte de algunos supuestos. Utilizando la muestra directamente, no es suficiente. Se necesita también la hipótesis nula de mantener.

Si uno en lugar de utilizar la distribución de muestreo de la estadística, es decir, el centro de la distribución en la muestra estadística, a continuación, la prueba de hipótesis corresponde a la estimación de la probabilidad de que H0 dado las muestras.

La pregunta es: ¿cómo se puede calcular la probabilidad de que algo de lo que suponemos es cierto. En nuestro caso, si asumimos $H_0$ como verdadero, es inútil tratar de estimar la probabilidad de que $H_0$ es cierto.

Por lo tanto, me siento que el centrado de la distribución en H0 es un innecesarios complicación.

Usted no tiene dos distribuciones de ahí, sólo hay uno, el uno asume su tierra la verdad, también conocido como la que viene con $H_0$. Sin embargo, existe una distribución de muestreo derivados de la muestra, pero esto no está involucrado en la hipótesis de que el uso.

Un buen ejercicio sería para intentar reproducir la misma lógica con una distribución asimétrica. Tomar chi-cuadrado de distribución como en el de la chi cuadrado de independencia de la prueba. Son capaces de reproducir? Creo que la respuesta es no.

Answer 2

Supongamos $\boldsymbol X = (X_1, X_2, \ldots, X_n)$ es una muestra tomada de una distribución normal con desconocidos media de $\mu$ y conoce la varianza $\sigma^2$. La media de la muestra $\bar X$ es por lo tanto normal con una media de $\mu$ y la varianza $\sigma^2/n$. En este mucho, creo que no puede haber ninguna posibilidad de desacuerdo.

Ahora, te proponemos que nuestro estadístico de prueba es $$Z = \frac{\bar X - \mu}{\sigma/\sqrt{n}} \sim \operatorname{Normal}(0,1).$$ Right? BUT THIS IS NOT A STATISTIC. Why? Because $\mu$ is an unknown parameter. A statistic is a function of the sample that does not depend on any unknown parameters. Therefore, an assumption must be made about $\mu$ in order for $Z$ to be a statistic. One such assumption is to write $$H_0 : \mu = \mu_0, \quad \text{vs.} \quad H_1 : \mu \ne \mu_0,$$ under which $$Z \mid H_0 = \frac{\bar X - \mu_0}{\sigma/\sqrt{n}} \sim \operatorname{Normal}(0,1),$$ que es una estadística.

Por el contrario, se propone el uso de $\mu = \bar X$ sí. En ese caso, $Z = 0$ idénticamente, y ni siquiera es una variable aleatoria, y no digamos distribuidos normalmente. No hay nada que probar.

Answer 3

De lo que deduzco, que están argumentando que tiene más sentido 'flip'$H_0$$H_1$.

Me parece útil pensar en la prueba de hipótesis como una prueba por contradicción. Asumimos $H_0$ para ser verdad, entonces, mostrar que la evidencia indica que tal suposición es errónea, lo que justifica el rechazo de la $H_0$ a favor de las $H_1$.

Esto funciona porque cuando asumimos $H_0$ y un centro de distribución de ahí, podemos determinar qué tan probable/improbable que nuestra observación es. Por ejemplo, si $H_0: \mu = 0$ vs $H_1: \mu \neq 0$ y determinamos de nuestras pruebas de que hay menos de un 5% de probabilidad de que la verdadera media de $\mu$ es igual a 0, podemos rechazar $H_0$ con 95% de confianza.

El inverso no es necesariamente cierto. Dicen que hacer un experimento y determinar que no es en realidad un 30% de probabilidad de que la hipótesis nula se sostiene. No podemos rechazar la nula, pero tambien no lo aceptan. Esta situación no muestran que el $H_0$ (nulo) es verdadera, pero que no tenemos pruebas para demostrar que es falso.

Ahora imagina que volcó esta situación. Decir que asumimos $H_1$ y encontrar que dados los resultados, la probabilidad de $H_0$ es de 5% o menos, ¿qué significa eso? Seguro que podemos rechazar la nula, se puede necesariamente aceptar $H_1$? Es difícil justificar la aceptación de lo que supone ser verdad en el principio.

Mostrando que $H_0$ es falso no es el resultado que buscamos, queremos argumentar en favor de las $H_1$. Haciendo la prueba en la forma de describir, nos están mostrando que no tenemos evidencia para decir que el $H_1$ es falso, que es sutilmente diferente argumentando $H_1$ es cierto.