¿Existe una función tal que $f' = f\circ f$ ?

Question

¿Existe una función $f:\mathbb{R}\rightarrow (0,\infty)$ , de tal manera que $f' = f\circ f$ ?

Aparentemente, debería suponer por contradicción que lo hay, y entonces debería implicar que $f$ está aumentando, pero no veo la razón de ello.

EDITAR:

Ahora, sabemos que $f(0)$ es un límite inferior para $f'(x).\forall x \in \mathbb{R}$ .
La siguiente reclamación es para $x<0.f(x) <f(0) + xf(0) = (1+x)f(0)$ .

¿Por qué es cierta esta última afirmación?

Answer 1

Para responder a tu pregunta concreta: prueba el teorema fundamental del cálculo. Dado que $f$ está aumentando, usted sabe que $f\circ f$ también aumenta, y por lo tanto $f'$ también lo es. Por lo tanto, la fijación de $x$ , $f'(x)$ es mayor que $f'(y)$ para cualquier $y\lt x$ y como $f'(y) \lt f'(x)$ , $\int_0^xf'(y)dy\lt\int_0^xf'(x)dy$ - pero el primero es $f(x)-f(0)$ y este último es $xf'(x)$ . Esto da $f(x)-f(0)\lt xf'(x)$ o $f(x)\lt f(0)+xf'(x)\lt f(0)+xf(0)$ La última desigualdad viene dada por el resultado ya demostrado sobre $f'(x)$ .

Answer 2

Observar $f'$ es estrictamente positivo, por lo que $f$ es monótonamente creciente. Así, $f'$ es una función monotónicamente creciente también, por lo que podemos extender continuamente $f$ y $f'$ a $-\infty$ y además debemos tener $f'(-\infty) = 0$ .

Entonces,

$$0 = \lim_{x \to -\infty} f'(x) = \lim_{x \to -\infty} f(f(x)) = f(\lim_{x \to -\infty} f(x))$$

Desde $f(x) > 0$ para todos los reales $x$ Debemos tener

$$\lim_{x \to -\infty} f(x) = -\infty$$

lo cual es absurdo.