$3 \times 3$ Cuadrado mágico de Plazas

Question

En la imagen de abajo es de tres por tres cuadrados mágicos en el que siete de las entradas son el cuadrado de los números enteros, que se encuentra por Andrew Bremner de la Universidad Estatal de Arizona (y de forma independiente por Lee Sallows de la Universidad de Nijmegen):

$$%![ingrese la descripción de la imagen aquí][1] \boxed{ \begin{array} {ccc} 373^2 & 289^2 & 565^2 \\ 360721 & 425^2 & 23^2 \\ 205^2 & 527^2& 222121 \end{array}}$$

¿Qué sería de un algoritmo eficiente para encontrar un nuevo ejemplo de una de tres por tres cuadrados mágicos con siete cuadrado entradas que difiere de la ya conocida ?

Sé que la fórmula general para $e_{ij}$ entrada de un extraño cuadrado mágico es dada por :

$$e_{ij}= n\cdot\left(\left(i+j-1+\left \lfloor \frac{n}{2} \right \rfloor \right) \bmod n \right)+\left((i+2j-2\right) \bmod n)+1$$

P. S.

Rotaciones, simetrías, y múltiplos de esta conocida plaza no se cuentan como nuevas soluciones.

EDITAR :

Yo lo he encontrado uno con seis cuadrados entradas :

$$%![ingrese la descripción de la imagen aquí][2] \boxed{\begin{array} {ccc} 17^2 & 35^2 & 19^2 \\ 697 & 25^2 & 553 \\ 889 & 5^2 & 31^2 \end{array}}$$

Answer 1

Usted va a querer ver a Una búsqueda de $3\times3$ cuadrados mágicos tener más de seis plaza de enteros entre sus nueve distintos números enteros, por Christian Boyer, y en los papeles por Bremner y otros que Boyer referencias. Usted no puede esperar a encontrar uno nuevo hasta que usted comprenda los métodos utilizados para encontrar el uno que ya se sabe.

Boyer también publicó un artículo que no he visto: Algunas notas sobre la magia de los cuadrados de plazas problema, De matemáticas. Intelligencer 27 (2005), no. 2, 52-64, MR2156534 (2006d:05024).

Answer 2

He tratado con esto algunos meses atrás, y tener esto en algunos garabatos. No sé si esto es de ayuda alguna.
Desde el ansatz (donde m es el horizontal,vertical y diagonal suma) $$\begin{array} {rrr|r} & & & m \\ a^2 & b^2 & c^2 & m \\ d^2 & e^2 & f^2 & m \\ g^2 & h^2 & i^2 & m \\ \hline m&m&m&m \end{array}$$ escribir esto como un conjunto de ecuaciones y el uso de Gauss-reducción llegué a la siguiente cuadrado mágico con tres parámetros libres e,i,h $$\begin{array} {rrr|r} & & & 3e^2 \\ 2e^2-i^2 & 2e^2 -h^2& -e^2 +h^2 + i^2 & 3e^2 \\ -2e^2+h^2+2i^2 & e^2 & 4e^2-h^2-2i^2 & 3e^2 \\ 3e^2-h^2-i^2 & h^2 & i^2 & 3e^2 \\ \hline 3e^2&3e^2&3e^2&3e^2 \end{array}$$ y si recuerdo correctamente he visto, que los parámetros debe ser impar y no divisible por 3 o en otras palabras $e^2,i^2,h^2$ debe ser congruente con 1 modulo 12 .
Yo no proceder a continuación, sin embargo, tal vez que la representación es de algún interés para usted.

[update2] Aquí es uno más de la información que se me olvidó incluir a los primeros. Podemos expresar las condiciones en las entradas en el cuadrado mágico, que también deben ser cuadrados, dependiendo de los tres parámetros de $e,h,i$ como una pequeña matriz de multiplicación: $$\begin{array} {r} &&&&|&e^2| \\ &&&&|&h^2| \\ &&&&*|&i^2| \\ \hline |& 2 & 0 & -1| & |&a^2| \\ |& 2 & -1 & 0| & |&b^2| \\ |&-1 & 1 & 1| & = |&c^2| \\ |&-2 & 1 & 2| & |&d^2| \\ |& 4 & -1 &-2| & |&f^2| \\ |& 3 & -1 &-1| & |&g^2| \\ \end{array}$$ He encontrado que mucht tentador tratar de hacer algo, de que la descripción estructural para decir algo acerca de las posibilidades para todas las entradas simultanously a ser de plazas, pero aún no tienen una expresión mejor.

[actualización] Los comentarios de abajo que me motivó a tratar simplemente de que parametrizadas problema. El uso de un Pari/GP-rutina con un triple bucle para la base de parámetros- $e,h,i$ tengo este 7-plaza-soluciones en 53 segundos: (que es también el dado de 7 plazas solución se muestra en el hilo de la pregunta inicial) $$\pequeño \begin{bmatrix} 205^2 & 527^2 & 222121 \\ 360721 & 425^2 & 23^2 \\ 373^2 & 289^2& 565^2 \end{bmatrix} \pequeño \begin{bmatrix} 222121 & 527^2 & 205^2 \\ 23^2 & 425^2 & 360721 \\ 565^2 & 289^2 & 373^2 \end{bmatrix}$$ La simetría de las dos soluciones indicar, que yo podría haber reducido a la mitad el consumo de tiempo Si tuviera un poco más inteligente de búsqueda de criterios.

Con un mejor criterio para el bucle (100 seg, $e$ utilizado hasta 3000) he encontrado algunas más - por desgracia, el sólo son el trivial múltiplos de la primera solución... : $$\pequeño \begin{matrix} & a^2 & b^2 & c^2 & d^2 & e^2 & f^2 & g^2 & h2 & i^2 \\ \hline & 410^2 & 1054^2 & 2^2\cdot 151 \cdot 1471 & 2^2\cdot 137 \cdot 2633 & 850^2 & 46^2 & 746^2 & 578^2 & 1130^2 \\ & 615^2 & 1581^2 & 3^2\cdot 151 \cdot 1471 & 3^2\cdot 137 \cdot 2633 & 1275^2 & 69^2 & 1119^2 & 867^2 & 1695^2 \\ & 820^2 & 2108^2 & 4^2\cdot 151 \cdot 1471 & 4^2\cdot 137 \cdot 2633 & 1700^2 & 92^2 & 1492^2 & 1156^2 & 2260^2 \\ & 1025^2 & 2635^2 & 5^2\cdot 151 \cdot 1471 & 5^2\cdot 137 \cdot 2633 & 2125^2 & 115^2 & 1865^2 & 1445^2 & 2825^2 \\ & 1230^2 & 3162^2 & 6^2\cdot 151 \cdot 1471 & 6^2\cdot 137 \cdot 2633 & 2550^2 & 138^2 & 2238^2 & 1734^2 & 3390^2 \\ & \vdots \\ k^2*\ldots&205^2 & 527^2 & 151 \cdot 1471 & 137 \cdot 2633 & 425^2& 23^2 & 373^2 & 289^2 & 565^2\\ & \vdots \end{de la matriz}$$ Obviamente no hay ningún número $k^2$, lo que haría que las entradas de las columnas $c^2$ $d^2$ un cuadrado perfecto, por lo que este esquema no puede proporcionar una mejor solución para mayor $k$.

Aquí está el Pari/GP-código (actualizado)

isin(x,vgl)=if (x<1,return(1)); for(k=1,#vgl,if(x==vgl[k],return(1)));return(0);

{ listsqsq(max_e=100,max_nosq=3,min_e=1)= local(a,b,c,d ,f,g,  no_sq,a2,b2,c2,d2,e2,f2,g2,h2,i2,list,li);
 list=vectorv(20000);li=0;
 for(e=min_e,max_e, e2=e^2;
  for(h=1,ceil(1.5*e),  if(h==e,next()); \\ no higher h needed
        h2=h^2;
        b2=2*e2 - h2; if(isin(b2,[e2,h2]), next()); 
             if(issquare(b2)==0, next()); 
             b=sqrtint(b2);

        for(i=sqrtint(e2-ceil(h2/2)),sqrtint(2*e2-floor(h2/2))+1,  if(isin(i,[e,h,b]),next());  \\ no higher i needed
              i2=i^2;no_sq=0;
              g2=   b2 +e2-i2;  if (isin(g2,[b2,e2,h2,i2])            ,next()); if(issquare(g2)==0,next()); g=sqrtint(g2);
              a2= 2*e2 -i2;     if (isin(a2,[b2,e2,h2,i2,g2])         ,next()); if(issquare(a2)==0,a=-a2;no_sq++, a=sqrtint(a2));
              c2=-e2+h2+i2;     if (isin(c2,[b2,e2,h2,i2,g2,a2])      ,next()); if(issquare(c2)==0,c=-c2;no_sq++, c=sqrtint(c2));
              d2=-2*e2+h2+2*i2; if (isin(d2,[b2,e2,h2,i2,g2,a2,c2])   ,next()); if(issquare(d2)==0,d=-d2;no_sq++, d=sqrtint(d2));
              f2= 4*e2-h2-2*i2; if (isin(f2,[b2,e2,h2,i2,g2,a2,c2,d2]),next()); if(issquare(f2)==0,f=-f2;no_sq++, f=sqrtint(f2));
              if(no_sq>max_nosq,next());
              idx=prime(e)*prime(h)*prime(i)*prime(g);
              li++;list[li]=[a,b,c,d,e,f,g,h,i,log(idx),no_sq];
            )
      );
    );
   if(li==0  , return(Mat([0])));
   list=Mat(vecextract(list,Str("1..",li)));
   list=vecsort(list~,[10,4,7,8,3,6,7])~;
   return(list);}

Answer 3

Esto no es una solución. Pero es demasiado grande para ser un comentario. Yo sólo espero que sea útil.

Primera observación

Siempre se puede arreglar los números en un cuadrado mágico, de modo que el más pequeño de la parte superior central y el siguiente es inferior derecha, entonces hay dos posibles conjuntos de filas de la $9$ números.

 TYPE 1        TYPE 0
 8  1  6       8  1  7
 3  5  7  and  4  5  6
 4  9  2       3  9  2

La primera es en sí mismo un cuadrado mágico, la segunda no lo es. El mejor ejemplo de un TIPO de $0$ cuadrado mágico es

 8   0  7
 4   5  6
 3  10  2

Segunda Observación

Para todos los cuadrados mágicos, la suma de los cuadrados de la primera fila (columna) es igual a la suma de los cuadrados de la última fila (columna). Por ejemplo

 8² + 0² + 7² = 3² + 10² + 2² = 113

Así que no sólo están en busca de números de tal manera que $a^2 + b^2 + c^2 = A^2 + B^2 + C^2$, también debe tener $a^4 + b^4 + c^4 = A^4 + B^4 + C^4$. Aún más, $\{a,b,c\}$ $\{A,B,C\}$ deben ser completos sistemas de residuos modulo $3$.