Puede la Categoría de Regímenes de ser Concretados?

Question

Si no, ¿hay alguna interesante subcategorías que pueden ser concertized? Si no me equivoco, la categoría de la reducción de la finitos tipo de variedades sobre los números complejos sería un ejemplo, donde el olvido functor a conjuntos estaría dado por mirar el subyacente mapa de puntos.

Answer 1

Me gustaría sugerir que esta no es la pregunta correcta. Al menos, a mí me parece que la modificación de la pregunta (en una dirección que Theo estaba insinuando) sería más interesante.

El problema con la pregunta como le pide es que, para una determinada categoría de $C$, la mera existencia de un fiel functor $C \to \mathbf{Set}$ le dice muy poco de hecho. Tal vez usted tiene alguna razón para querer saber que yo no puedo ver. Pero una condición que parece tener más mordedura es 'pequeña concreción', que se define como sigue.

Vamos a C una categoría. Un conjunto de valores functor $U: C \to \mathbf{Set}$ es pequeña si se puede expresar como una pequeña colimit de representables. Llamar a una categoría $C$ pequeña concreto , si existe una pequeña, fieles functor $C \to \mathbf{Set}$. En el caso particular de la $C$ es pequeña, todo un conjunto de valores de functors en $C$ son pequeños y pequeñas de concreto = hormigón.

No es muy difícil demostrar que una categoría es pequeño, concreto si y sólo si se admite un set de generación de energía. (Un set de generación de energía en una categoría $C$ es una [pequeña] $S$ de los objetos tal que, para cualquier distintos mapas de $f, g: a \to b$$C$, $s \in S$ $q: s \to a$ tal que $fq \neq gq$.) La existencia de un grupo electrógeno es una de las condiciones en el Especial Adjunto Functor Teorema: ver Categorías para el Trabajo Matemático.

Usted puede aprovecharse de esto de la siguiente manera. Supongamos que desea mostrar que la categoría afín esquemas no es pequeño-concreto (lo que implicaría que la categoría de todos los esquemas, no es tanto). Asumiendo por una contradicción que es pequeña concreto, la categoría de $\mathbf{Ring}$ conmutativa de los anillos tiene un cogenerating conjunto. Desde $\mathbf{Ring}$ a nivel local es pequeño y pequeño, el Especial Adjunto Functor Teorema nos dice que todo límite-preservar el functor de $\mathbf{Ring}$ a un local pequeño de la categoría ha dejado adjunto. Supongo que es posible cocinar (o buscar) un ejemplo de un límite-la preservación de functor de $\mathbf{Ring}$ que no tiene un adjunto a la izquierda. Que se iba a producir el deseado contradicción.

Answer 2

La categoría de esquemas que no es poco-de hormigón.

Deje $S$ ser un set de generación de energía. Deje $U$ ser el conjunto de todos los anillos de $A \neq 0$ tal que $\mathrm{Spec}(A)$ es una subscheme de un esquema en el $S$. Deje $X$ ser un conjunto cuya cardinalidad es mayor que cualquier elemento de a $U$, por ejemplo, $2^{\bigsqcup_{A \in U} A}$. Deje $K$ a ser el campo $\mathbb{Q}(t_x)_{x \in X}$ donde $t_x$ son una colección de algebraicamente independiente generadores indexados por $X$. Por lo $|K|$ es mayor que $|A|$ cualquier $A \in U$. Desde el anillo de mapas a partir de un campo a un trivial de los anillos son siempre inyectiva, $\mathrm{Hom}(\mathrm{Spec}(A),\mathrm{Spec}(K))=\emptyset$ por cada $A \in U$, y por lo tanto $\mathrm{Hom}(s,\mathrm{Spec}(K))=\emptyset$ por cada $s \in S$.

Sólo hay un mapa del conjunto vacío a sí mismo. Pero $\mathrm{Spec}(K)$ ha trivial isomorphisms, procedentes de permuting los generadores. Así

$\mathrm{Hom}(\mathrm{Spec}(K),\mathrm{Spec}(K)) \longrightarrow \mathrm{Hom}_{\mathrm{Set}^{S^\mathrm{op}}}( (\mathrm{Spec}(K))(-), (\mathrm{Spec}(K))(-))$

no es inyectiva.

Answer 3

Al parecer, hay un resumen de absurdo argumento que muestra $\mathbf{Sch}$ es concretisable. Aquí es un manos-en la prueba.

Definimos $U_0 : \mathbf{Sch} \to \mathbf{Set}$ a ser el functor que envía un esquema para el conjunto de puntos de la base del espacio topológico y definimos $U_1 : \mathbf{Sch} \to \mathbf{Set}^\mathrm{op}$ a ser el functor que envía un esquema distinto de la unión de los tallos de su estructura gavilla. (Esto tiene sentido porque el tallo de $f^{-1} \mathscr{O}_Y$ $x$ es el tallo de $\mathscr{O}_Y$$f (x)$.) Claramente, $(U_0, U_1) : \mathbf{Sch} \to \mathbf{Set} \times \mathbf{Set}^\mathrm{op}$ es fiel, y el contravariante powerset functor $\mathscr{P} : \mathbf{Set}^\mathrm{op} \to \mathbf{Set}$, es fiel también, por lo que el functor $X \mapsto U_0 X \amalg \mathscr{P} (U_1 X)$ es un fiel functor $\mathbf{Sch} \to \mathbf{Set}$.

Answer 4

Esta "respuesta" está destinada a complementar Tom Leinster la respuesta, y es que realmente en respuesta a Martin de Brandenburgo, el comentario de abajo de Tom respuesta, donde le pide un ejemplo de un continuo (es decir, el límite de la conservación) functor $\textbf{CRing} \to \textbf{Set}$ que no es un derecho adjuntos. Adam Epstein idea que se sugiere la siguiente posibilidad.

Elegir, para cada uno de los infinitos cardenal $\alpha$, un campo de $F_\alpha$ de que la cardinalidad (por ejemplo, por definición, la característica cero algebraicamente cerrado campo de la trascendencia grado $\alpha$$\mathbb{Q}$), y poner $A_\alpha = \mathbb{Z} \times F_\alpha$. Cada no-trivial cociente del anillo (correspondiente a una epi) de $A_\alpha$ o bien contiene una copia de $F_\alpha$, o es un cociente del anillo de $\mathbb{Z}$ (posiblemente $\mathbb{Z}$ sí).

Esto tiene las siguientes consecuencias: para cualquier (propiedad conmutativa) anillo de $R$ de cardinalidad menor que $\alpha$, no es exactamente un mapa de $f: A_\alpha \to R$. Porque si tenemos un regular (epi)-mono de la factorización de la $A_\alpha \to Q \to R$ donde $Q \to R$ es monic, entonces la posibilidad en el $Q$ contiene una copia de $F_\alpha$ se descarta, por lo tanto la factorización debe tomar la forma

$$A_\alpha \stackrel{\text{epi}}{\to} \mathbb{Z}/(n) \stackrel{\text{mono}}{\to} R$$

donde $(n)$ está determinada únicamente como el destructor de la identidad en $R$.

Ahora forma el functor

$$G = \prod_{\alpha \in \text{Card}} \hom(A_\alpha, -): \textbf{CRing} \to \textbf{Set}$$

Tan pronto como $\alpha \gt \text{Card}(R)$, $\hom(A_\alpha, R)$ es un elemento del conjunto. Por tanto, para cada $R$, $G(R)$ es un conjunto pesar de $G$ sí es una clase de tamaño de producto. Siendo un producto de la continua functors, $G$ es continua. Pero $G$ no puede ser representable (solo por el simple cardinalidad de las consideraciones; por ejemplo, $G(A_\alpha)$ tiene un tamaño mayor que $\alpha$, para cualquier $\alpha$, desde algebraicamente cerrado campos tienen un montón de automorfismos).

Answer 5

Conclusión (Añadido 3/18/14): aunque $\mathbf{Sch}$ no es pequeño-concretizable, es concretizable más general. Sin embargo, la construcción de un fiel functor a $\mathbf{Set}$ es complicado simple, si usted utiliza Zhen Lin enfoque!

Las respuestas a esta pregunta saltó a la utilización de una modificación de la noción de lo concreto. Pero hay clásico resultados sobre concretizability en el sentido original de esta pregunta -- admitiendo una fiel functor a $\mathbf{Set}$. El más famoso, por supuesto, es Freyd el resultado de que el homotopy categoría de espacios no es concreto.

Pero Freyd escribió otro artículo en concreto. En él se muestra, (Thm 4.1.iii), que un finitely-completa categoría es concretizable iff es regularmente-bien alimentado. Es decir, iff cada objeto tiene un pequeño conjunto de clases de isomorfismo de regular subobjetos, donde regularmente un subobjeto significa un ecualizador de dos morfismos.

Yo no sé nada acerca de los esquemas, pero voy a salir en una extremidad y se supone que la categoría es finitely completa y regularmente bien alimentado. Por lo tanto es concretizable.

EDITAR (3/18/14): Después de discutir este tema con Zhen abajo, decidí que era digno de su propio MO pregunta. Resulta que $\mathbf{Sch}$ es regularmente wellpowered. Un simple argumento dado por Martin de Brandeburgo en esta pregunta declaración muestra que los monos son localmente cerrado inmersiones, y Laurent Moret-Bailly mostró, por una factorización en una cerrada y una abierta inmersión, que sólo puede haber un pequeño conjunto de este último en un esquema dado.

(El siguiente es sustituida por Zhen la respuesta:) por Lo que no existe un fiel functor $\mathbf{Sch} \to \mathbf{Set}$. La pregunta obvia es: ¿a qué se parece? Es tal vez una cierta \emph{grande} colimit de representables? Por desgracia, Freyd de la construcción es muy artificial -- que implica la incrustación $\mathbf{Sch}$ en un abelian categoría y, a continuación, utilizar un ataque de fuerza bruta inducción transfinita. De todos modos, sospecho que podría darle algo de penetración en la categoría de esquemas para intentar construir de una forma más natural fieles functor a $\mathbf{Set}$.