Ordinal exponenciación - $2^{\omega}=\omega$

Question

Este es mi comprensión de la aritmética ordinal - dos ordinales son el mismo como un otro, si hay una orden de preservación de la bijection entre ellos. Así, por ejemplo,

$$1+\omega = \omega$$

porque si

$$f(\langle x,y\rangle)=\begin{cases}y+1 & x=1\\ 1 &\text{otherwise}\end{cases}$$

A continuación, $f$ es una orden-la preservación de bijection entre el $\{ 0 \} \times 1 \cup \{ 1 \} \times \omega$ $\omega$ donde $\{ 0 \} \times 1 \cup \{ 1 \} \times \omega$ está dotado con la adición de la orden.

Likwise si

$$g(\langle x,y \rangle)=2 \times x+y$$

A continuación, $g$ es una orden-la preservación de bijection entre el $2 \times \omega$ $\omega$ donde $2 \times \omega$ está dotado de la multiplicación el orden, por lo $2 \cdot \omega =\omega$ , mientras que el $\lnot 2 \cdot \omega =\omega \cdot 2$ porque $< 0,1 >$ es un límite de $\omega \times 2$ bajo la multiplicación de la orden, mientras que $2 \cdot \omega$ no tiene límite de los números ordinales.

En la página de Wikipedia, la Exponenciación se ha descrito para los números ordinales, donde en particular, se dice que el $2^{\omega} = \omega$. Cómo puede ser esto si $\omega$ ni siquiera tiene la misma cardinalidad como $2^{\omega}$ - a saber, no es $2^{\omega}$ incontable, con la misma cardinalidad como los reales?

Answer 1

$2^\omega$ significa dos cosas diferentes, dependiendo de si usted está haciendo exponenciación cardinal u ordinal exponenciación. Estás pensando cardenal exponenciación: para que es perfectamente cierto que $2^\omega>\omega$. Para ordinal exponenciación, sin embargo, $2^\omega$ es simplemente $\bigcup_{n\in\omega}2^n=\omega$.

Answer 2

Ordinal exponenciación es no exponenciación cardinal.

El cardenal exponenciación $2^\omega$ es de hecho incontables y tiene la cardinalidad del continuo.

El ordinal exponenciación $2^\omega$ es el supremum de $\{2^n\mid n\in\omega\}$, lo que a su vez es exactamente $\omega$ nuevo.

También relacionado con:

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Answer 3

Tenga en cuenta que $2^\omega$ no es el powerset de $\omega$, e $|2^\omega|\ne2^{|\omega|}$, donde el alatter es cardenalde la aritmética. Si usted lee en el artículo de la Wikipedia, verás que $2^\omega$ es obtenida por la toma de los mapas de $\omega\to 2$ con finito de apoyo, no arbitrarios, mapas. Que corresponde a los subconjuntos finitos en lugar de arbitraria de subconjuntos, por lo tanto para la terminación de las secuencias binarias (esp. ratioanl números) en lugar de arbitraria de las secuencias binarias (números reales) si te gusta.