Cómo encontrar el valor de esta suma? $$\sum\limits_{m=1}^\infty \tan^{-1}\left(\frac{2m}{m^4+m^2+2}\right)$$ No puedo entender cómo simplificar esto. Debo usar cualquier trigonométricas sustitución para simplificar la fracción? Consejos y ayuda necesaria!
Respuesta
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\begin{eqnarray} \frac{2m}{m^4+m^2+2}&=&\frac{2m}{m^4+2m^2-m^2+1+1}\\ &=&\frac{2m}{(m^2+1)^2-m^2+1}\\ &=&\frac{2m}{(m^2+m+1)(m^2-m+1)+1}\\ &=&\frac{(m^2+m+1)-(m^2-m+1)}{(m^2+m+1)(m^2-m+1)+1} \end{eqnarray} así que casi hecho! $$ \arctan(a)-\arctan(b)=\arctan\left(\frac{a-b}{1+ab}\right) $$ \begin{eqnarray} \arctan(m^2+m+1)-\arctan(m^2-m+1)&=&\arctan\left(\frac{(m^2+m+1)-(m^2-m+1)}{(m^2+m+1)(m^2-m+1)+1}\right)\\ &=&\arctan\frac{2m}{(m^2+m+1)(m^2-m+1)+1} \end{eqnarray} ahora usted tiene telescópica sumation, porque \begin{eqnarray} \arctan(m^2+m+1)-\arctan(m^2-m+1)&=&\arctan(m(m+1)+1)-\arctan(m(m-1)+1)\\ &=&f(m)-f(m-1) \end{eqnarray} $$ \sum_{m=1}^\infty\tan^{-1}\left(\frac{2m}{m^4+m^2+2}\right)=\sum_{m=1}^\infty(f(m)-f(m-1))=\tan^{-1}\infty-\tan^{-1}1=\frac\pi2-\frac\pi4=\frac\pi4. $$
