¿Por qué es $G(k)$ "más fundamental" de Hilbert-Waring función de $g(k)$?

Question

En la entrada de Wikipedia para Waring del problema, la sección $G(k)$ comienza: "a partir De la obra de Hardy y Littlewood, más fundamental que $g(k)$ resultó ser $G(k)$, la cual es definida..." no se justifica o citas.

¿Crees esto? Hay un sentido objetivo en el que $G(k)$ es más fundamental? Mi respuesta es que el de Hardy-Littlewood propio método sólo funciona para los suficientemente grandes $x$ (digamos que usted está interesado en la densidad de los subconjuntos de a $\mathbf N$ en el intervalo de $[1;x]$), por lo que es mejor adaptado para manejar $G(k)$$g(k)$. Existe una mejor respuesta?

Answer 1

Más a menudo en la teoría analítica de números uno está interesado en el comportamiento asintótico. La función de $G(k)$ refleja que -- es decir, se omite un número finito de excepciones. Si en realidad se trata de calcular la función de $g(k)$, usted encontrará que puede ser un poco más grande de lo $G(k)$, pero por razones que se sienten algo "accidental", es decir, que se centran en la dificultad de representar números muy pequeños.

[Por cierto, me imagino que tanto el artículo de la wikipedia y el párrafo de arriba están influenciados por el pasaje esta en Hardy y Wright Introducción a la Teoría de Números. Creo que Hardy y Wright dijo que era mejor que tanto la wikipedia y a mí, y yo recomiendo un vistazo para ver lo que dijo.]

De todos modos, observe que si una cantidad es "más fundamental" que el otro no es un enunciado matemático de por sí: es una declaración de opinión, la estética y la experiencia. Uno estaría dentro de sus derechos a estar más interesados en la función de $g(k)$$G(k)$: tal vez la compleja, caótica-mirando el comportamiento de un pequeño número de apelaciones.

Answer 2

El número de $g(k)$ sólo depende de un "pequeño" como prefijo de los números enteros, como la página de la Wikipedia indica: el peor número posible es un lugar pequeño, cuya mejor representación que utiliza $k$th poderes de $1,2,3,4$. Por lo $g(k)$ está determinado por algún pequeño "excepcional" número.

Por el contrario, $G(k)$ depende realmente de todos los números enteros. Hay otras formas de "ignorar" casos excepcionales, por ejemplo podemos encontrar la serie de potencias que suficiente para casi todos los números enteros, o una fracción positiva de los números enteros, y así sucesivamente.