¿Cuál es el significado físico de la conexión y el tensor de curvatura?

Question

Con respecto a la relatividad general:

• ¿Cuál es el significado físico de Christoffel símbolo ($\Gamma^i_{\ jk}$)?
• ¿Cuáles son los (preferiblemente física) diferencias entre la curvatura de Riemann tensor ($R^i_{\ jkl}$), tensor de Ricci ($R_{ij}$) y el escalar de Ricci ($R$)? Por ejemplo, ¿por qué las ecuaciones de Einstein incluyen el tensor de Ricci y escalar, pero no el tensor de Riemann?

Para ser claros, por "sentido físico", me refiero a algo como lo físico efecto de estos componentes generan? O, hacen que el GR soluciones desviarse de Newton porque de xxx factor... o algo similar físicamente intuitiva.

Answer 1

La forma más sencilla de explicar el símbolo de Christoffel es buscar en ellos en el espacio plano. Normalmente, el laplaciano de un escalar en tres planos dimensiones es:

$$\nabla^{a}\nabla_{un}\phi = \frac{\partial^{2}\phi}{\partial x^{2}}+\frac{\partial^{2}\phi}{\partial y^{2}}+\frac{\partial^{2}\phi}{\partial z^{2}}$$

Pero, ese no es el caso si me cambio a partir de la $(x,y,z)$ sistema de coordenadas a coordenadas cilíndricas $(r,\theta,z)$. Ahora, el laplaciano se convierte en:

$$\nabla^{a}\nabla_{un}\phi=\frac{\partial^{2}\phi}{\partial r^{2}}+\frac{1}{r^{2}}\left(\frac{\partial^{2}\phi}{\parcial \theta^{2}}\right)+\frac{\partial^{2}\phi}{\partial z^{2}}-\frac{1}{r}\left(\frac{\partial\phi}{\partial r}\right)$$

La cosa más importante a tener en cuenta es el último término de arriba, que ahora tiene no sólo las segundas derivadas de $\phi$, pero usted también tiene ahora un plazo que implican un primer derivado de $\phi$. Esto es precisamente lo que un símbolo de Christoffel. En general, el operador Laplaciano es:

$$\nabla_{un}\nabla^{a}\phi = g^{ab}\partial_{un}\partial_{b}\phi - g^{ab}\Gamma_{ab}{}^{c}\partial_{c}\phi$$

En el caso de las coordenadas cilíndricas, lo que el plazo adicional que hace es codificar el hecho de que el sistema de coordenadas no homogéneas en el operador de la derivada--superficies en constante $r$ son mucho más lejos del origen que están cerca del origen. En el caso de una curva en el espacio(tiempo), lo que los símbolos de Christoffel hacer es explicar la inhomogenities/curvatura/lo que sea de el espacio(tiempo).

Tan lejos como la curvatura de los tensores, son las contracciones de cada uno de los otros. El tensor de Riemann es simplemente un anticommutator de derivados operadores--$R_{abc}{}^{d}\omega_{d} \equiv \nabla_{un}\nabla_{b}\omega_{c} - \nabla_{b}\nabla_{un} \omega_{c}$. Se mide en paralelo traducción de un vector o de una forma difiere si usted va en la dirección 1 y dirección 2 o en el orden opuesto. El tensor de Riemann es una cosa difícil de manejar para trabajar, sin embargo, tener cuatro índices. Resulta que es antisimétrica en los dos primeros y los dos últimos índices, sin embargo, por lo que no es, en realidad, sólo una sola contracción (contracción=multiplicar por el tensor métrico y la suma de todos los índices) que uno puede hacer en ella, $g^{ab}R_{acbd}=R_{cd}$, y de esta forma se define el tensor de Ricci. El escalar de Ricci es sólo una nueva contracción de esto, $R=g^{ab}R_{ab}$.

Ahora, debido a la Relatividad Especial, Einstein ya sabía que el asunto tenía que ser representada por un índice del tensor que combina las presiones, de las corrientes, y la densidad de la distribución de la materia. Esta distribución de la materia, si físicamente significativa, también debe satisfacer la ecuación de continuidad: $\nabla_{a}T^{ab}=0$, que básicamente dice que la materia no se crea ni se destruye en la distribución, y que la tasa de tiempo de cambio actual es el gradiente de presión. Cuando Einstein era el de escribir sus ecuaciones de campo de abajo, él quería una cierta cantidad creado a partir de la métrica del tensor que también satisfechos ($G^{ab}$) para establecer la igualdad de $T^{ab}$. Pero esto significa que $\nabla_{un}G^{ab} =0$. Resulta que no es sólo una combinación de términos relacionados con la primera y la segunda derivadas de la métrica tensor: $R_{ab} - \frac{1}{2}Rg_{ab} + \Lambda g_{ab}$, donde $\Lambda$ es una constante arbitraria. Así que, esto es lo que Einstein escogido para su campo de ecuación.

Ahora, $R_{ab}$ tiene el mismo número de indicies como el estrés, la energía del tensor. Así, una mano-ondulados manera de mirar lo $R_{ab}$ es decir que nos dice que la "parte de la curvatura" que deriva de la presencia de la materia. ¿Dónde deja esto a los componentes restantes de $R_{abc}{}^{d}$ que $R_{ab}$ no depende? Así, la forma más sencilla (no TOTALMENTE correcta, pero más simple) es llamar a estas partes de la curvatura derivados de la dinámica del campo gravitacional en sí-un vacío espacio-tiempo que contiene sólo la radiación gravitatoria, por ejemplo, va a satisfacer $R_{ab}=0$, pero también tendrá $R_{abc}{}^{d}\neq 0$. Igual que en un espacio-tiempo que contiene sólo un agujero negro. Estos componentes adicionales de $R_{abc}{}^{d}$ te dará la información acerca de la dinámica gravitacional del espacio-tiempo, independiente de lo que importa el espacio-tiempo que contiene.

Esto se está poniendo largo, así que voy a dejar esto en que.

Answer 2

La conexión física de significación--- es el campo gravitacional. La métrica es el potencial gravitacional.

El hecho de que los símbolos de Christoffel no son los tensores no cambia el hecho de que son significativos. Pueden desaparecer en cualquier momento por una transformación de coordenadas, pero en GR, esto es justo decir que puede hacer que el campo gravitacional de desaparecer por la elección de un cae libremente marco de coordenadas. Esa es una declaración física sobre el campo gravitacional.

La transformación de la ley de símbolos de Christoffel está bien definido, y una forma de pensar sobre el concepto matemático de el resumen de la conexión es mediante la identificación de dos diferentes descripciones de los símbolos en los que sólo se diferencian por transformación de coordenadas. El resumen de la conexión no tiene un valor en un punto, pero tiene holonomy valores en los nudos.

No hay ningún local invariante gauge observables en general, una covariante de la teoría, por lo que tiene que ver con coordinar la transformación de las cosas, como el tensor métrico y la conexión.

Answer 3

Tenga en cuenta que no hay ningún significado físico de los símbolos de Christoffel, ya que no son los tensores. Siempre es posible elegir las coordenadas locales de tal manera que toda $\Gamma$ desaparecer.

Pero sus matemático en el sentido de que forman una pseudotensor. Técnicamente, si tenemos dos covariante derivados $\nabla_1$ y $\nabla_2$ entonces su diferencia de $\Gamma := \nabla_1 - \nabla_2$ satisface algunas buenas propiedades matemáticas (es decir, que es un ultralocal operador) y por lo que su actuar en cualquier objeto es sólo local y puede ser representado por un tensor.

Por $\nabla_1$ normalmente tomamos la derivada covariante nos interesa (por ejemplo, una métrica derivada covariante a la desaparición de torsión inducida por algunos métrica tensor de $g$). Por $\nabla_2$ hay dos generales (y ampliamente utilizado) opciones. Se puede utilizar coordinar la derivada covariante $\parcial$ (que anihilates coordenadas del vector ${\parcial \over \partial x}$ y covector campos de ${\rm d} x$ y esto le da a la expresión usual de $\nabla = \parcial + \Gamma_{Christoffel}$. La otra opción (que generaliza la anterior) es una derivada covariante $\bar \parcial$ que aniquila algunos tetrad $e$ (en el caso anterior hemos tenido la tetrad ${\rm d} x$, que es muy específico; por general tetrad no hay necesidad de que existen asociados coordenadas). Esto conduce a la tetrad formalismo y que uno escribe $\nabla = \bar \parcial + \gamma$ donde $\gamma$ son Ricci rotación de los coeficientes.

Como para el tensor de Riemann, es una vez más una representación tensorial de un ultralocal operador, es decir, la curvatura del operador $R(u, v)$. Esta es una caja negra que tiene dos campos vectoriales (pensado como una dirección) y devuelve un ultralocal operador que le dice lo mucho que el espacio se curva a lo largo de esas direcciones. Más precisamente, se indica lo que sucede con un vector si usted transporte paralelo a lo largo de los infinitesimales polígono $0 \u \u+v \v \a [u,v] \to 0$; puede ser pensado como un cuadrado, excepto que los dos campos, no se necesita cerrar y esto se mide por su colector $[u, v]$. Así que usted puede expresar como $R(e_a, e_b) e_c = {R_{abc}}^d e_d$ y usted va a obtener la costumbre tensor de Riemann.

Ahora, debido a la simetría del tensor de Riemann, dos no equivalentes contracciones son posibles. Uno de ellos es la traza ${R_{abc}}^c$ y esto puede ser trivialmente visto a cero para el tensor de Riemann derivados de Levi-Civita de conexión (en general para las conexiones de preservar los elementos de volumen). La otra contracción, ${R_{abc}}^$ da el tensor de Ricci. Este será simétrico de Levi-Civita de conexión (porque la traza del tensor de Riemann es cero, y debido a la torsión que se desvanece).

Una de las más útiles (bastante matemática) vista de que el tensor de Ricci es como un "laplaciano de la métrica", $R_{ij} \sim -{1 \over 2}\Delta g_{ij}$ y por una analogía para que el calor fluye esto se relaciona Ricci flujos que son una herramienta básica que se utiliza en el estudio de la conjetura de Poincaré.

Ahora, el significado geométrico del tensor de Ricci es que se mide la deformación del elemento de volumen en condiciones normales de coordenadas geodésicas. Estas son las coordenadas que se puede obtener alrededor de cualquier punto, si usted parametrizar el vecindario geodésico de flujos. De modo que el tensor de Ricci medidas de cómo geodesics tienden a hacerse más denso o muy dispersas alrededor de un punto en una dirección dada. Piense acerca de cómo esfera con curvatura positiva tiene menos volumen, porque su geodesics convergen (que son las grandes círculos en la esfera) de un espacio hiperbólico con curvatura negativa donde geodesics divergen (hay infinitamente muchas líneas rectas paralelas a una recta dada). En particular, Ricci plana colectores (que son las soluciones de vacío de las ecuaciones de Einstein con constante cosmológica cero) se comportan en este sentido como el habitual espacio Euclidiano. Usted necesita generalizar esta Einstein colectores (que son soluciones de vacío con los no-cero constante cosmológica) para la obtención de análogos de la esfera y el espacio hiperbólico (es decir, deSitter y anti-deSitter espacio).

Hay mucho más que decir sobre estos temas, pero espero que esto sea útil, al menos un poco.

Answer 4

"Por el significado físico" de los símbolos de Christoffel, hay un sentido en el que ellos no tienen un significado físico, debido a que la información que codifican no es realmente la información acerca de la curvatura del espacio sino de la geometría del sistema de coordenadas para describir el espacio.

Como una intuición acerca de ellos, que codifican cuánto la base de vectores de los campos de cambio para infinitesimal cambios en las coordenadas que se utiliza. Esta es la razón por la que en un espacio plano (localmente) siempre es posible hacerlas de cero: transformar a un sistema de coordenadas donde la base de campos vectoriales no cambian de un punto a otro.

Para saber cómo el espacio-tiempo de las curvas, se puede observar cómo la métrica de los cambios de la función de punto a punto. Para ver esto, usted puede mirar cómo los vectores de la base cambio de punto a punto (ya que la métrica está totalmente determinado por el vectores de la base). Esta es la información que el símbolo de Christoffel codifica.