Mostrar delimitada armónico de la función en $\mathbb{C}$ es constante.

Question

Hay otro post con este exactamente el mismo símbolo que tiene varios abajo votos por no mostrar su trabajo. Así que voy a mostrar qué tipo de trabajo que tengo. Sé que ser un armónico función implica la satisfacción de la Media del Valor de la Propiedad, por lo tanto lo que he pensado que me gustaría hacer es considerar dos puntos arbitrarios en $\mathbb{C}$ y demostrar que:

$$|u(z) - u(w)|=|\frac{1}{2\pi}\int_0^{2\pi}u(z - re^{i\theta})d\theta - \frac{1}{2\pi}\int_0^{2\pi}u(w - te^{i\theta})d\theta| $$ $$= |\frac{1}{2\pi}\int_0^{2\pi}u(z - re^{i\theta}) - u(w - te^{i\theta})d\theta|$$

Ahora lo que quieres hacer es tomar la r y la t hasta el infinito y probar esta integral se va a cero, pero no puedo averiguar cómo hacerlo. He utilizado el hecho de que mi armónico de la función u se define en todos los de $\mathbb{C}$ en la toma de t y r hasta el infinito, pero todavía necesito usar el hecho de que es acotada.

Yo también he leído a través de la prueba de Liouville del Teorema, se da como una respuesta en el otro post, que parece intuitivamente correcta, pero no de la onu rigurosas. Realmente dice que el valor en el centro de una bola es igual a la media de la pelota del volumen. Me imagino que esto puede ser demostrado a partir de la media en la frontera ya que el promedio en la frontera no va a cambiar a medida que continuamente reducir el límite de su centro. Sin embargo, esto requeriría que la diferencia de dos integrales, o hay una forma más simple?

Yo también estaba pensando en utilizar el Máximo de Módulo Principio de alguna manera, pero no he encontrado una manera todavía. Probablemente he hecho de esta manera más complicado que tiene que ser, espero que alguien me pueda ayudar, gracias! =].

Edit: Ok, después de pensarlo un poco más acerca de la aceptación de la respuesta en el otro post, he decidido que lo que debe hacer es buscar en la canónica de holomorphic función cuya parte real es mi función armónica u, y demostrar que holomorphic función está acotada. A partir de ahí me puede demostrar que ya es todo, y limitada que es constante, y a partir de ahí demostrar que, a continuación, su parte real debe ser constante. Así podría alguien hablar un poco acerca de la construcción de este canónica de holomorphic función?

Answer 1

Voy a ampliar sobre Nelson prueba un poco.

Usted sabe que el Valor medio de la Propiedad que el valor de una función armónica $u$ $z$ es igual a la media de sus valores en cualquier círculo centrado en $z$. Podemos convertir esto en un hecho acerca de los promedios de las bolas (que en este caso son los discos) sólo mediante el uso de coordenadas polares: $$\int_{B(z,R)} u(w)\,dw = \int_0^R \int_0^{2\pi} u(z + r e^{i \theta}) r \,d\theta\,dr = \int_0^R 2 \pi u(z) r\,dr = u(z) \pi R^2.$$ Dividir ambos lados por $\pi R^2$, podemos ver que $u(z)$ es igual al valor promedio de $u$ sobre el balón $B(z,R)$.

Ahora fix $z,w \in \mathbb{C}$, y considerar los discos $B(z,R)$, $B(w,R)$ centrada en cada uno de ellos. Deje $L = B(z,R) \cap B(w,R)$ ser el lente de la región en forma de mentir en ambos discos. Deje $L_z = B(z,r) \backslash L$ ser la región en la $z$ disco, pero no el $w$ disco. (Saca una foto). Uno puede trabajar en el área de $A(L)$ $L$ por un poco de cálculo multivariable (o buscarlo en Mathworld). Un poco más de cálculo muestra que la proporción $\frac{A(L)}{\pi R^2} \to 1$$R \to \infty$, por lo que la lente se ocupa de "la mayoría" de los discos. Desde $A(L) + A(L_z) = \pi R^2$, por lo tanto, debemos tener $\frac{A(L_z)}{\pi R^2} \to 0$.

Ahora por el valor medio de la propiedad, por cualquiera de $R$ hemos $$u(z) = \frac{1}{\pi R^2} \int_{B(z,R)} u(\zeta)\,d\zeta = \frac{1}{\pi R^2} \int_L u(\zeta)\,d\zeta + \frac{1}{\pi R^2} \int_{L_z} u(\zeta)\,d\zeta.$$ Para el segundo término, si $|u|$ está acotada por una constante $M$,$R \to \infty$, $$\left|\frac{1}{\pi R^2} \int_{L_z} u(\zeta)\,d\zeta \right| \le \frac{M A(L_z)}{\pi R^2} \to 0.$$ Así $$u(z) = \lim_{R \to \infty} \frac{1}{\pi R^2} \int_L u(\zeta)\,d\zeta.$$ Pero si reemplazamos $z$ $w$ que puede hacer exactamente el mismo argumento (en sustitución de $L_z$ $L_w$ cuya área es la misma, por simetría). Así que también tenemos $$u(w) = \lim_{R \to \infty} \frac{1}{\pi R^2} \int_L u(\zeta)\,d\zeta.$$ Por lo tanto $u(z) = u(w)$.

Answer 2

Usted podría considerar la posibilidad de Cauchy de la integral de la fórmula utilizada en este camino: desde $f$ es todo puede ser escrito $f(z)=f(0)+f'(0)z+...$, esto es válido para todas las complejas $z$. Luego de Cauchy de la fórmula da $$f^{(k)}(0)=\frac{k!}{2\pi i}\int_{|z|=r} \frac{f(z)}{z^{k+1}}dz$$ for all $z$. Pasando al módulo de obtener la estimación $$\frac{|f^{(k)}(0)|}{k!}\leq \frac{\max_{|z|=r}|f(z)|}{r^{k}} \leq \frac{C}{r^{k}}$$ (C is the constant that limits the modulus of the function $f$). Letting r tend to infinity you find that all the coefficients of the above series are zero except for the term $f(0)$, so $f$ es constante.