¿Por qué es 1 elevado a infinito No se define y no "1"

Question

$1$ cuadrado es $1$, por lo que se planteó $1$$123434234$.

Mi profesora de matemáticas afirma que $1$ elevado a infinito no es $1$, pero no se define. ¿Hay alguna razón para esto?

Yo sé que cualquier número elevado a infinito no está definido, pero que no $1$ ser una excepción?

Answer 1

Lo $1^\infty$ es, o no es, es simplemente una cuestión de definición. Normalmente, sólo definen $a^b$ por alguna clase específica de pares de $a,b$ - decir $b$ - entero positivo, $a$ - número real.

Cuando se extiende la definición de exponenciación más general de pares, la clave de la cosa que la gente tenga en mente es que diversas buenas propiedades se conservan. Por ejemplo, para $ b$ - entero positivo, quiere poner a$a^{-b} = \frac{1}{a^b}$, de modo que la regla de $a^ba^c = a^{b+c}$ se conserva.

Puede tener sentido en algún contexto para hablar de infinitos en el contexto de los límites, pero esto es más una regla de oro que riguroso de las matemáticas. Esto puede ser visto como una extensión de la regla de que $(a,b) \mapsto a^b$ es continua (es decir, si $\lim_n a_n = a$$\lim_n b_n = b$,$\lim_n a_n^{b_n} = a^b$) para permitir la $b_n \to \infty$. Por ejemplo, usted puede correr el riesgo de decir que: $$\lim_{n} (2+\frac{1}{n})^n = 2^{\infty} = \infty$$ Si usted acepta el uso de reglas de este tipo, usted podría estar tentado a decir también: $$\lim_{n} (1+\frac{1}{n})^n = 1^{\infty} = 1$$ pero esta iba a llevar por mal camino, ya que en la realidad: $$\lim_{n} (1+\frac{1}{n})^n = e \neq 1$$ Por lo tanto, es más seguro dejar a $1^\infty$ indefinido.

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Una discusión más detallada se puede encontrar en Wikipedia.

Answer 2

Cuando el profesor habla acerca de $0/0$ o $\infty/\infty$ o $1^\infty$ él/ella no está hablando de números, pero acerca de las funciones, más precisamente sobre límites de funciones.

Es sólo una expresión conveniente, pero no debe ser confundido con los cálculos en números simples (que $\infty$ no es, por cierto).

Al $1^\infty$ se refiere, es a decir la siguiente situación: hay dos funciones de $f$ $g$ definida en una vecindad de a $c$, con las propiedades

1. $\lim\limits_{x\to c} f(x)=1$

2. $\lim\limits_{x\to c} g(x)=\infty$ (o $-\infty$)

(por supuesto, $c$ también puede ser $\infty$ o $-\infty$).

Diciendo que $1^\infty$ es una forma indeterminada, es sólo una tecla de acceso forma de decir que no se puede calcular

$$\lim_{x\to c}f(x)^{g(x)}$$

con sólo decir: "la base va a $1$, por lo que el límite es $1$ porque $1^t=1$". De hecho, esto puede ser extremadamente mal, como el ejemplo fundamental

$$\lim_{x\to\infty}\left(1+\frac{1}{x}\right)^{x}=e$$

muestra.

¿Por qué es eso? Es fácil si siempre escribes $f(x)^{g(x)}$ $\exp(g(x)\log f(x))$ y calcular el límite de $g(x)\log f(x)$, la aplicación de las propiedades de la función exponencial.

En el caso anterior tendríamos

1. $\lim\limits_{x\to c} \log f(x)=0$

2. $\lim\limits_{x\to c} g(x)=\infty$ (o $-\infty$)

así que el límite

$$\lim_{x\to c}g(x)\log f(x)$$

es en el otro $\infty\cdot0$ forma indeterminada (que debe saber). ¿Por qué es "indeterminado"? Porque tenemos muchos casos de esa forma donde el límite no es predecible por simplemente hacer una (una tontería) multiplicación:

\begin{gather} \lim_{x\to 0+}x\cdot\frac{1}{x}=1\\ \lim_{x\to 0+}x^2\cdot\frac{1}{x}=0\\ \lim_{x\to 0+}x\cdot\frac{1}{x^2}=\infty \end{reunir}

Answer 3

Por el camino, sólo para darles una forma mucho más simple de respuesta (que de hecho no explicar realmente el problema, pero puede ayudar si usted no está estudiando cálculo):

El problema aquí es que, en realidad, $\infty$ no es un número. Se utiliza para representar un número inimaginablemente grandes, pero obviamente no se puede decir que. Por lo tanto, el infinito no es un número definido.

Esa es la razón de fondo de por qué tener $1^a$ $a$ siendo una sola, precisa el número de darle

$$ 1^a=1 $$

mientras que con $a=\infty$, o cualquier otro número indefinido, por lo general se le da $undefined$.

No es el único caso, en realidad. Este es un ejemplo de formas indeterminadas. Otros ejemplos similares se $\infty^0$$0*\infty$, que también son indefinidos.

Completamente de demostrar o mostrar ejemplos prácticos, que en realidad tiene que ir en funciones y la teoría de límites, que son, por el camino, no el real de los valores que tienen funciones pero en el que convergen, o enfoque). Y las otras respuestas ya han hecho eso, lo voy a dejar aquí.