Intersección de las Variedades Algebraicas.

Question

Deje $\mathbb K$ ser un algebraicamente cerrado de campo. Consideremos el conjunto a $M_n(\mathbb K)$ de todas las matrices de orden $n$. Identificar el conjunto $M_n(\mathbb K)$ con el espacio afín $\mathbb A^{n^2}_{\mathbb K}$.

El conjunto $V_1=\{A\in M_n(\mathbb K):A=-A^T\}$ de anti-simétricos matrices es una expresión algebraica variedad de dimensión $\frac{n^2-n}{2}$.

El conjunto $V_2=\{A\in M_n(\mathbb K):\det(A)=0\}$ de singular matrices es una expresión algebraica variedad de dimensión $n^2-1$.

Mi pregunta es:

El conjunto $V_1\cap V_2$ es algebraico de la variedad, es decir, es irreductible como una expresión algebraica? Si la respuesta es sí, ¿cuál es su dimensión?

Answer 1

Por extraño $n$$A\in V_1$, $$\det(A)=\det(-A^T)=(-1)^n\det(A^T)=-\det(A),$$ por lo $V_2\subseteq V_1$ y la intersección es sólo $V_1$.

En el siguiente suponemos que $n$ es incluso.

La variedad $V_1$ se corta por $X_{ij}+X_{ji}$, y ha de coordinar anillo $$\mathbb K[X_{ij}]/(X_{ij}+X_{ji}\mid i,j\in[n])\cong\mathbb K[X_{ij}\mid i>j].$$ Por lo tanto, para $r:=(n^2-n)$, $V_1\cong\mathbb A^r_{\mathbb K}$ es un subespacio afín de $\mathbb A^{n^2}_{\mathbb K}$. El mapa de restricción envía el determinante polinomio al cuadrado de la pfaffian polinomio $\mathrm{pf}$. No hay Ejercicio 13 en el Capítulo 2.9 de Matrices: Teoría y Aplicaciones , de Denis Serre, que dice que el Pfaffian es irreductible. Estoy bastante seguro de que va a trabajar un poco de algo como esto una prueba de que el factor determinante es irreductible. Por lo tanto, $V_1\cap V_2=Z(\mathrm{pf}^2)\subseteq \mathbb A^r_{\mathbb K}$ es una irreductible hipersuperficie en $\mathbb A^r_{\mathbb K}$, por lo tanto irreductible en $\mathbb A^{n^2}_{\mathbb K}$. La dimensión es $r-1$ Aasa Beag Dubh ya se señaló.