isomorfismos no triviales de categorías

Question

En primer lugar, conozco los conceptos de isomorfismo y equivalencia entre categorías, y que este último es el más interesante, mientras que el primero es más bien raro y carece de interés.

¿Existen isomorfismos de categorías que no sean triviales ni patológicos? Considero que los ejemplos sobre wikipedia como triviales, porque no son más que reformulaciones de las definiciones de los objetos considerados. Así pues, quizá la pregunta sea: ¿Existen reformulaciones no triviales?

Hay montones de equivalencias no triviales de categorías (esquemas afines <-> anillos (duales), espacios hausdorff compactos <-> álgebras C* unitales conmutativas (duales), grupos abelianos finitos <-> grupos abelianos finitos (duales), esqueletos como las extensiones algebraicas de campos de funciones sobre campos primos fijos en la categoría de campos), pero me pregunto si estas categorías son realmente isomorfas. Por supuesto, en los ejemplos de interés, no se puede tomar la equivalencia conocida como un isomorfismo, pero ¿tal vez hay otra?

Answer 1

He aquí dos de mis ejemplos favoritos, ambos impartidos regularmente a estudiantes universitarios:

Extensiones de Galois: si $L$ es una extensión de Galois de $K$ con grupo de Galois $G$ , entonces lo contrario de la categoría de órbitas $G/H$ y $G$ -es isomorfo a la categoría de campos intermedios, mediante $G/H\mapsto L^H$ .

Las categorías de finito $T_0$ -y los posets finitos son isomorfos; las categorías categorías de Alexandroff $T_0$ -y todos los posets son isomorfos.

Como dice Tom, lo trivial es subjetivo, pero estos dos son ciertamente elementales. y esclarecedores. El primero engloba un montón de cosas que normalmente se enseñan por separado. por separado. La segunda es un puente entre la topología algebraica y la combinatoria.

Answer 2

Si esto cuenta como trivial, es un asunto subjetivo, pero aquí va.

Cualquier contigüidad $$ F: C \D,\ \ \ G: D \a C $$ (con $F$ a la izquierda adjunto a $G$) da lugar canónicamente a una mónada $T = GF$ $C$ y una "comparación" functor $K: D \to C^T$. Aquí $C^T$ es la categoría de álgebras para la mónada $T$. La contigüidad es decir para ser monádico si $K$ es una equivalencia de categorías.

Ahora, de hecho, para la mayoría de los ejemplos claros de monádico adjunctions, la comparación es en realidad un isomorfismo. Por ejemplo, si $G$ es el olvidadizo functor de grupos a los juegos, es un isomorfismo. Lo mismo es cierto si usted reemplace grupos por cualquier otra teoría algebraica (anillos, álgebras de Lie, etc).

De hecho, si nos fijamos en las Categorías para el Trabajo Matemático, vas a ver que Mac Lane llama un functor monádico si $K$ es un isomorfismo. Él hace toda la base de la teoría de las mónadas con esta definición. Sospecho que esto es debido a que $K$ realmente es un isomorfismo en el estándar de ejemplos. CWM fue publicado en 1971, y desde entonces ha quedado claro que las Mac Lane definición era demasiado estrecho. Si los pioneros de la teoría de la mónada (como Beck) también se utiliza esta definición estrecha, no sé.

Answer 3

Una regla general que une algunos de los ejemplos anteriores es que si se tienen dos categorías cuyos objetos son conjuntos dotados de alguna estructura, y existe una equivalencia entre estas dos categorías que asigna a un conjunto con una estructura el mismo conjunto con una estructura diferente (pero equivalente), entonces tal equivalencia de categorías es un isomorfismo de categorías. También se pueden tener objetos de alguna otra categoría fija en lugar de conjuntos y algunas colecciones de morfismos en lugar de las estructuras de los conjuntos (véase el último ejemplo).

Para dar un ejemplo simple no trivial de esto, la categoría de $G$ -módulos para un grupo $G$ es isomorfa a la categoría de módulos sobre el anillo de grupo $\mathbb{Z}[G]$ o la categoría de módulos sobre un álgebra de Lie $\mathfrak{g}$ es isomorfa a la categoría de módulos sobre su álgebra envolvente $U(\mathfrak{g})$ o la categoría de comodules sobre una álgebra de dimensión finita $C$ es isomorfa a la categoría de módulos sobre el álgebra dual $C^\ast$ .

Otra serie de ejemplos de isomorfismos de categorías la proporcionan las equivalencias entre categorías cuyas clases de objetos son las mismas aunque los morfismos sean distintos pero isomorfos. Esto incluye equivalencias entre varias categorías cocientes o localizaciones de una categoría dada (que tienen todas los mismos objetos que la categoría original).

He aquí otro ejemplo de este tipo. Sea $C$ sea una categoría, $R:C\rightarrow C$ sea una mónada sobre $C$ y $L:C\rightarrow C$ sea un functor adjunto por la izquierda a $C$ . Entonces $L$ es una comónada. Las categorías de $R$ -y $L$ -coálgebras en $C$ pueden ser muy diferentes. Sin embargo, se puede considerar la categoría de libre $R$ -álgebras en $C$ se trata de una categoría cuyos objetos son formalmente los objetos $X$ de $C$ mientras que los morfismos $X\rightarrow Y$ son los $R$ -morfismos de álgebra $R(X)\rightarrow R(Y)$ . Análogamente se define la categoría de cofree $L$ -coálgebras en $C$ cuyos objetos son los objetos $X$ de $C$ y los morfismos son los $L$ -morfismos de coálgebra $L(X)\rightarrow L(Y)$ . Entonces las categorías de libre $R$ -y cofree $L$ -son isomorfas; esto se denomina isomorfismo de Categorías de Kleisli . Para dar un ejemplo concreto de esto, las categorías de cómitulos de izquierda cofree y contramódulos de izquierda free sobre una coalgebra dada son isomorfas.

Para comparar, cuando $L:C\rightarrow C$ es una mónada y $R:C\rightarrow C$ es adjunto a la derecha de $L$ entonces $R$ es una comónada y las categorías enteras de $L$ -y $R$ -coálgebras en $C$ son isomorfas.

Answer 4

Un sabor diferente de ejemplo:

Connes' ciclo categoría Λ puede ser descrito de la siguiente manera. Tiene un objeto (n) para cada entero positivo n que pensamos como una orientada al círculo con n puntos marcados. Un mapa de (n) a (m) es una isotopía de la clase de grado 1 mapas que envía a los puntos marcados a los puntos marcados. Alternativamente, se puede pensar en él como un mapa entre los conjuntos de puntos marcados que conserva la cíclico de orden. (Nota: estoy llamando a (n) de lo que normalmente se llama algo así como [n-1], por razones que no son relevantes aquí.)

Dado un mapa f : (n) → (m), también podemos ver lo que ocurre con los intervalos de el círculo entre los puntos marcados. Cada intervalo (m) es golpeado por exactamente un intervalo de (n), y los datos de, para cada intervalo de (m), que el intervalo de (n) golpea, determina f. Así, f determina también un mapa de un arreglo de m arcos de un círculo a un arreglo de n arcos de un círculo. La conclusión: Λ es isomorfo a su opuesto categoría Λ^op.

Si usted prefiere trabajar con la presentación de Λ por generadores y relaciones, entonces el generador de $d_i$ correspondiente a la inserción de un nuevo punto en un intervalo es "dual" para el generador de $s_j$ colapso de los dos resultante intervalos de uno (y de rotación es "dual" a la rotación).

Este es un hecho que vale la pena conocer cuando el aprendizaje acerca de la homología de Hochschild aunque sólo sea para que no la utiliza accidentalmente! Si se pierde la pista de si va a adjuntar su álgebra a los puntos marcados o los intervalos del círculo, la confusión se imponen.

Answer 5

Esto es realmente un comentario, no una respuesta. Pero como es un comentario no tan corto a muchas respuestas juntas, tenía que convertirse en una respuesta.

Se ha observado que las equivalencias definitorias (de primer orden) dan categóricas categóricos, al menos para categorías de estructuras de primer orden con isomorfismos como sus únicos morfismos. En mi opinión, el hecho de que dos definiciones equivalentes de una estructura matemática den los mismos isomorfismos pero morfismos posiblemente diferentes (¿qué mapas entre retículos [completos] hay que considerar: isótonos? meet-semilattice morfismos? morfismos join-semilattice? morfismos lattice? [¿Morfismos de celosía? morfismos?]) es una gran virtud: significa que dos definiciones dan puntos de vista realmente diferentes sobre el mismo tipo de estructura. de vista sobre el mismo tipo de estructura (en cierto modo, formalizan una especie de no trivialidad de la equivalencia). Esto también ocurre con las estructuras de segundo orden (retículos completos, espacios uniformes y topológicos); las equivalencias de definición se expresan en el lenguaje se expresan en el lenguaje natural de la "escala de conjuntos" de Bourbaki (o modelo natural de la teoría de tipos) por encima de los conjuntos base de la (multi)teoría de tipos. (los detractores de Bourbaki y/o los detractores de la teoría de categorías hablarían en cambio del topos "algo libre" generado por los (tipos para los) conjuntos base; Cuando la equivalencia de las definiciones es completamente constructiva, se puede hablar de un topos libre. libre, pero dependiendo de los principios de la lógica clásica necesarios para demostrar la equivalencia de las definiciones. equivalencia de las definiciones, se considera el topos generado libremente en clases restringidas).

En resumen: las equivalencias definidas sintácticamente inducen isomorfismos entre categorías de estructuras. Como señala Hodges (por ejemplo en su libro "model theory"), prácticamente todo lo que en matemáticas puede considerarse "realmente" una "construcción" es formalizable como una interpretación o al menos una "palabra-construcción" (y además es es la propia forma sintáctica la que muestra qué tipo de morfismos más generales que isomorfismos son "preservados" por la construcción. Entiendo que pocos amantes de teoría de categorías aprobarían una visión sintáctica tan extrema, pero nótese que incluso el libro "categories, allegories" de Freyd y Scedrov insiste en la "correspondencia de Galois" entre las a sintácticos y semánticos; yo simplemente prefiero el lado sintáctico). Desde este punto de vista, las observaciones de Hodges sobre (casos algo más generales que) las adjunciones entre cuasivariedades (y clases Horn universales) inducidas por functores olvidadizos están relacionadas con la observación ya dada sobre las adjunciones monádicas.

Además, el libro "abstract and concrete categories" de Adameck, Herrlich, Strecker contiene muchos ejemplos de "isomorfismos concretos"; algunos de ellos deberían ser interesantes (y todos ellos, si no recuerdo mal, pueden verse definidos sintácticamente como arriba).

Por cierto, los tres autores dicen que el concepto no razonable de "equivalencia concreta equivalencia"; no estoy de acuerdo, ya que existen casos en los que dos categorías pueden ser reflejarse concretamente en subcategorías completas de objetos "en forma normal", y las subcategorías son concretamente isomorfas [por ejemplo, tomemos la geometría afín de dimensión al menos tres: formar algebraicamente espacios afines definidos por puntos, grupo de traslaciones, campo de escalares uno "normaliza" al caso particular en que las traslaciones son un subgrupo del grupo de permutaciones de los puntos y los escalares son un subring de del anillo de endomorfismos del grupo de traslaciones. Para los espacios afines geométricamente definidos al estilo de los Grundlagen de Hilbert, el caso general puede reflejarse en el caso caso "normal" con el mismo conjunto de puntos donde las rectas y los planos son conjuntos de puntos y la incidencia es la teórica de conjuntos].

Ya se ha observado que, en presencia de elección, "categorías isomórficas" significa "categorías equivalentes en las que las correspondientes clases de isomorfismo de los objetos tienen la misma cardinalidad". Freyd y Scedrov observan que, incluso en ausencia de elección, la noción "correcta" de equivalencia es: tener inflaciones isomorfas. Esto significa que todos los ejemplos habituales de equivalencia de categorías inducen ejemplos de isomorfismos (sin el truco de las elecciones arbitrarias para considerar esqueletos, sino utilizando "inflaciones" canónicas de las clases de isomorfismo)