La preimagen de un máximo ideal es máxima

Question

Estoy teniendo algunas dificultades con esta tarea problema:

Deje $A, B$ se reducirá finitely generadas $\mathbb{C}$-álgebras, y $\psi : A \longrightarrow B$ $\mathbb{C}$- álgebra homomorphism. Deje $\mathcal{M} \subset B$ ser un ideal maximal. Mostrar que $\psi^{-1}(\mathcal{M})$ también es un ideal maximal.

He aquí lo que tengo hasta ahora. La preimagen de un alojamiento ideal en virtud de un homomorphism es un alojamiento ideal, por lo que sabemos $\psi^{-1}(\mathcal{M})$ es un alojamiento ideal. También, si el homomorphism es surjective, a continuación, la imagen de un ideal es un ideal; pero por desgracia no sabemos $\psi$ es surjective.

Así que supongo que no es un ideal de a $\mathcal{J} \subset A$ tal que $\mathcal{J} \supsetneq \psi^{-1}(\mathcal{M})$. A continuación,$\psi(\mathcal{J}) \supsetneq \mathcal{M}$. Pero $\psi(\mathcal{J})$ no es necesariamente un ideal, por lo que considerar el ideal que genera (que voy a denotar $\langle\psi(\mathcal{J})\rangle$ - no estoy seguro si esta notación es estándar). Este ideal contiene $\mathcal{M}$, y desde $\mathcal{M}$ es la máxima que hemos $\langle\psi(\mathcal{J})\rangle = B$. Por lo tanto, cualquier $f \in B$ se puede escribir como una combinación lineal de los elementos de $B$ con coeficientes en $\psi(\mathcal{J})$, y, en particular, de los generadores de $B$ puede ser escrita de esta manera.

Quiero decir que $\mathcal{J} = A$, pero no estoy seguro de cómo demostrarlo.

Answer 1

Primero de todo se nota que la suposición de que $A$ $B$ ser álgebras sobre un campo $k$ $\psi$ $k$- álgebra homomorphism es crucial, ya que la inyección de $\mathbb Z \hookrightarrow \mathbb Q$ muestra que el pullback de $(0)$, que es máxima en $\mathbb Q$ $(0)$ que no es máxima en $\mathbb Z$. O usted puede tomar el $A=k[X] \hookrightarrow B=k(X)$, el natural de la inyección de un polinomio anillo en su campo de función y de nuevo volver a apretar el cero ideal.

Para probar esto, ya que es una tarea problema, voy a suponer el siguiente lema para una $k$-álgebra $A$: (a) Si $A$ es un dominio tal que cada elemento de a $a \in A$ es la raíz de un no-cero del polinomio en $k[X]$ ($A$ es algebraico sobre$k$), $A$ es un campo; (b) si $A$ es un campo, y está contenida en una afín $k$-álgebra de dominio, a continuación, $A$ es algebraico sobre $k$.

Estos son los resultados básicos que usted debe tener cubierto, pero voy a esbozar la prueba de este lema antes de continuar. Para la parte (a), vamos a $a \in A$, es suficiente para mostrar $k[a]$ es un campo, y puede suponer $A=k[a]$. Considerar el mapa de $k[X] \rightarrow A$ asignación de $f$$f(a)$, dejar que el kernel $I$, mostrar $A \cong k[X]/I$, y desde $a$ es algebraico sobre $k$, $I \neq 0$. Pero $k[X]$ es un PID, por lo $I=(f)$ $f$ irreductible, por lo $I$ es máxima y $A$ es un campo. Parte (b) lleva más trabajo, tengo miedo, pero en el caso de $k=\mathbb C$ es algebraicamente cerrado, es más fácil de ver.

Dado este lema, definir un mapa de $A \rightarrow B/ \mathfrak m$ mediante el envío de $a$$\psi(a)+ \mathfrak m$, lo que ha kernel $\psi^{-1}(\mathfrak m)=: \mathfrak n$. Por lo tanto, $A/ \mathfrak n$ es isomorfo a una subalgebra de $B/ \mathfrak m$. Por la parte (b) del lema anterior, $B/ \mathfrak m$ es algebraico sobre $k$, por lo tanto $A/ \mathfrak n$ también es algebraico sobre $k$, y un dominio, así que por la parte (a) del lema, es un campo y lo $\mathfrak n$ es máxima.