Tamaño del grupo $E(\mathbb{Q}_{p})/pE(\mathbb{Q}_{p})$

Question

Deje $E$ ser una curva elíptica sobre $\mathbb{Q}_{p}$. No sabemos nada acerca de el fin de el grupo $E(\mathbb{Q}_{p})/pE(\mathbb{Q}_{p})$? Sé que es finito, pero no sabemos nada más?

Answer 1

Deje $E$ ser una curva elíptica sobre $\mathbb{Z}_p.$ a Continuación, se adjunta a $E$ no es un grupo formal $\hat{E}$ de manera tal que la secuencia

$$0 \rightarrow \hat{E}(p\mathbb{Z}_p) \rightarrow E(\mathbb{Q}_p) \rightarrow E(\mathbb{F}_p) \rightarrow 0$$

es exacto. Esto induce, por el lema de la serpiente (y el hecho de que $\hat{E}(p\mathbb{Z}_p)[p] = 0$), una secuencia exacta

$$0 \rightarrow E(\mathbb{Q}_p)[p] \rightarrow E(\mathbb{F_p})[p] \rightarrow \hat{E}(p\mathbb{Z}_p)/p\hat{E}(p\mathbb{Z}_p) \rightarrow E(\mathbb{Q}_p)/pE(\mathbb{Q}_p) \rightarrow E(\mathbb{F}_p)/pE(\mathbb{F}_p) \rightarrow 0.$$

Vamos a tratar de conseguir una manija en el orden de $ E(\mathbb{Q}_p)/pE(\mathbb{Q}_p)$ mediante la estimación de los otros grupos de los que aparecen en esta secuencia y, a continuación, apelar al hecho de que el de euler charactertic (la alternancia suma de $\mathbb{F}_p$-dimensiones) de cualquier finito de la secuencia exacta de finito dimensionales espacios vectoriales es trivial. En primer lugar, como $E(\mathbb{F}_p)$ es finita grupo abelian

$$|E(\mathbb{F}_p)[p]| = |E(\mathbb{F}_p)/pE(\mathbb{F}_p)|$$

así que estos grupos se matan los unos a los otros en nuestra característica de Euler de cálculo.

Ahora vamos a considerar $\hat{E}(p\mathbb{Z}_p)/p\hat{E}(p\mathbb{Z}_p).$ Deje $[p]_{\hat{E}}$ ser la multiplicación por $p$ endomorfismo de $\hat{E}.$ El endomorfismo $[p]_{\hat{E}}$ es una potencia de la serie sobre $\mathbb{Z}_p$ sin término constante y con término lineal igual a $p.$ Además, la coefficientwise reducción de $[p]_{\hat{E}}$ $\mathbb{F}_p[[X]]$los rendimientos de una serie que es igual a $X^{p^h} \mod X^{p^h+1}$ donde $h$ es $1$ o $2.$ sigue por lo tanto, si $a \in p\mathbb{Z}_p,$ el polígono de Newton de $[p]_{\hat{E}} - a$ tiene un solo segmento de pendiente negativa si $v_p(a) = 1$ y dos segmentos de pendiente negativa en caso contrario. En el primer caso, la pendiente del segmento es $-1/p^h$ y, por tanto, $[p]_{\hat{E}} - a$ no tiene raíces en $p\mathbb{Z}_p$ y, en particular, $a$ define un elemento no trivial de $\hat{E}(p\mathbb{Z}_p)/p\hat{E}(p\mathbb{Z}_p).$ En el último caso, la primera pendiente negativa que aparecen en el polígono de newton de $[p]_{\hat{E}} - a$ tiene una longitud de $1$ y, por tanto, $[p]_{\hat{E}} - a$ tiene una raíz en $p\mathbb{Z}_p$ y, en particular, $a \in p\hat{E}(p\mathbb{Z}_p).$

Sigue

$$\hat{E}(p\mathbb{Z}_p)/p\hat{E}(p\mathbb{Z}_p) \cong \hat{E}(p\mathbb{Z}_p/p^2\mathbb{Z}_p) \cong p\mathbb{Z}_p/p^2\mathbb{Z}_p,$$

y por lo tanto

$$|\hat{E}(p\mathbb{Z}_p)/p\hat{E}(p\mathbb{Z}_p)| = p.$$

Ahora, como había prometido, se aplica el teorema acerca de la característica de euler a la secuencia exacta de arriba y obtener,

$$dim_{\mathbb{F}_p}(E(\mathbb{Q}_p)/pE(\mathbb{Q}_p)) = 1 - dim_{\mathbb{F}_p}(E(\mathbb{Q}_p)[p]).$$

(N. B. $E(\mathbb{Q}_p)[p] = 0$ si $E$ es ordinario y $E(\mathbb{Q}_p)[p] = \mu_p \oplus 1)$.