Definición y significado del conductor de una curva elíptica

Question

Nunca entendí bien la definición del conductor de una curva elíptica.

Lo que entiendo es que para una curva elíptica E sobre ℚ, End(E) va a ser (isomorfo a) ℤ o un orden en un campo cuadrático imaginario ℚ(√(-d)), y que este orden está determinado unívocamente por un entero f, el conductor, de manera que End(E) ≅ ℤ + f O _ℚ(√(-d)) (donde O significa simplemente anillo de enteros).

Sin embargo, creo que esto no es muy conveniente; esta definición no dice nada sobre las curvas elípticas sin multiplicación compleja.

La otra definición que he encontrado da el conductor como el producto de los primos en los que la curva elíptica no tiene una buena reducción:

N = ∏ p f _p

donde f _p \= 0 si E tiene una buena reducción en p, f _p \= 1 si la reducción es multiplicativa, f _p \= 2 si es aditivo y p ≠ 2 o 3, y f _p \= 2 + δ si p = 2 o 3, donde δ es alguna medida (aparentemente complicada) de lo mala que es la reducción.

Nunca he podido encontrar mucho sentido a la segunda definición, ni he visto ninguna relación con la primera. ¿Cómo surgió la idea inicialmente, y por qué esta definición en particular es más útil (o "natural") que otras definiciones similares?

Answer 1

Déjame completar un poco la historia. El conductor mide la ramificación del grupo de Galois del campo local sobre el módulo de Tate de las curvas elípticas. La definición formal se da en el libro de Serre como dijo Jordan, en el texto de Buhler en el enlace dado por Rob, y también en el segundo volumen de Sliverman sobre curvas elípticas.

El conductor es un número entero no negativo que interviene en el $L$ -función de $E$ . Su $p$ -parte $f_p$ desaparece si el módulo de Tate es unramificado (el grupo de inercia de ${\mathbb Q}_p$ actúa de forma trivial). Por lo demás, tiene dos partes, una mansa, que depende únicamente del tipo de reducción del modelo de Néron de $E$ (Creo que esto está demostrado en el artículo de Serre-Tate ''Good reduction of Abelian varieties'').

La segunda parte (la salvaje) del conductor es el conductor Cisne. Es el más cabezón. Se desvanece si y sólo si el $p$ -Sylow actúa trivialmente sobre el módulo Tate. En casos muy sencillos, se puede calcular directamente. En general, está relacionado con los invariantes de $E$ dado por el algoritmo de Tate: el conductor $f_p$ viene dada por la fórmula de Ogg:
$$ f_p=\nu_p(\Delta) - n +1 $$ donde $\Delta$ es el discriminante de una ecuación mínima de Weierstrass de $E$ y $n$ es el número de geométrico componentes irreducibles de la fibra en $p$ del modelo proyectivo regular mínimo de $E$ en $\mathbb Z$ (la fibra en $p$ es una curva proyectiva, posiblemente reducible, sobre $\mathbb F_p$ cuando $n$ se calcula sobre el cierre algebraico de $\mathbb F_p$ ). En el texto de Buhler falta "geométrico".

El algoritmo de Tate da $\Delta$ y $n$ y el ordenador puede encontrarlos muy rápidamente. Así que todo el mundo está contento.

Pero, la fórmula de Ogg, expuesta en su artículo de finales de los 60, era no está totalmente probado . Comprobó la igualdad mediante un análisis caso por caso. En el residuo de la característica 2, dijo que "en aras de la simplicidad, trabajaremos en la característica igual". Sabemos que la característica igual es una especie de límite de la característica mixta (cuando el índice de ramificación absoluto tiende a infinito), por supuesto, esta hipótesis simplifica mucho el cálculo, pero no da ningún equipo para el caso de la característica mixta (por ejemplo $\mathbb Q_p$ ). Aunque esta fórmula se utilizó ampliamente en los programas informáticos, y a menudo se utilizó como definición del conductor (¡!), algunas personas eran conscientes de lo incompleto de la prueba. Por ejemplo, Serre lo dijo en seminarios. Esto también se señaló en el artículo de Lockhart, Rosen y Silverman bounding conductor of abelian varieties (J. Alg. Geometry).

Esta situación se repara en 1988 en un trabajo magistral de Takeshi Saito. Veamos $R$ sea una d.v.r. con campo de residuo perfecto, sea $C$ sea una curva proyectiva suave y geométricamente conexa de género positivo sobre el campo de fracciones de $R$ y que $X$ sea el modelo proyectivo regular mínimo de $C$ en $R$ . Se define el conductor Artin ${\rm Art}(X/R)$ que resulta ser $f+n-1$ con el mismo significado que el anterior ( $f$ es el conductor asociado al jacobiano de $C$ ). Saito demostró que $${\rm Art}(X/R)=\nu(\Delta)$$ donde $\Delta\in R$ es el ''discriminante'' de $X$ que mide el defecto de un isomorfismo functorial que involucra potencias de la gavilla dualizadora relativa de $X/R$ . Cuando $C$ es una curva elíptica, se puede demostrar que $\Delta$ es en realidad el discriminante de una ecuación mínima de Weierstrass sobre $R$ y y eso es todo ¡! Este trabajo de Saito no fue aparentemente muy conocido por los teóricos del número. Algunos detalles más se dan en un texto (en francés) .

Así que la fórmula de Ogg debería llamarse La fórmula de Ogg-Saito . Que algunas personas lo hacen.

Answer 2

El conductor de la curva y el conductor del orden en el anillo de endomorfismo no son iguales en el caso CM; es sólo una terminología desafortunada. Por ejemplo, y^2 = x^3 - x tiene multiplicación compleja por el orden máximo Z[i] (conductor = 1) de Q(i), pero ciertamente no tiene en todas partes una buena reducción.

El conductor N, definido de forma bastante torpe, primo a primo, es útil para organizar la información que se incluye en la función L de la curva elíptica. Más concretamente, aparece en la ecuación funcional que relaciona la función L en el semiplano derecho con sus valores en el semiplano izquierdo. (Lo cual es conjetural a menos que E sea modular -incluyendo todas las curvas definidas sobre Q- o que E tenga multiplicación compleja). La razón conceptual por la que el asunto gracioso aparece en los primos 2 y 3 es que la función L es un producto de funciones L locales que cuentan puntos en las reducciones, y este conteo es más difícil de hacer mod 2 o mod 3. Todo esto se esboza en las secciones 15 y 16 del apéndice C del primer libro de Silverman sobre curvas elípticas y se detalla en su segundo libro.

Answer 3

De hecho, el conductor en el contexto del orden en un campo CM es simplemente la noción de un conductor de un orden en un campo numérico y completamente sin relación con las curvas elípticas.

El conductor de una curva elíptica puede verse como el conductor de su representación de Galois asociada. Para una representación de Galois el conductor está relacionado con la acción de la inercia y se divide en una parte mansa y una parte salvaje. Resulta que la parte salvaje en el caso de la curva elíptica sólo puede ser no trivial para los primos 2 y 3.

Geométricamente, la parte salvaje está relacionada con el número de componentes en la fibra especial del modelo de Néron. Para ambas descripciones, se puede consultar la página 60 del volumen 9 de las "actas" de IAS/Park city ( texto del enlace )

Answer 4

Este es un contexto en el que el director de orquesta es bastante natural. Ahora sabemos que toda curva elíptica sobre Q es modular es decir, es un cociente del Jacobiano modular J_0(N) para algún N. El conductor de E es precisamente el mínimo de dicho N.

Lo bueno de la definición que das es que se puede calcular directamente a partir de la curva elíptica sin sabiendo que es modular.

(Y, por supuesto, como dice Rob, es parte de una historia muy general sobre las representaciones de Galois -- para más información sobre este punto de vista se puede leer sobre los conductores de Artin en el libro de Serre sobre campos locales).

Answer 5

No me parece que la definición de un conductor torpe.

Considere la posibilidad de cualquier fibration f: X \to Y, sólo entre las variedades algebraicas por ahora. Supongamos que queremos estudiar de alguna manera en la geometría algebraica. Una de las primeras cosas que vienen a nuestra mente es el lugar geométrico de los puntos L Y en donde la fibra se degenera. Es un dato importante, y vamos a ser capaces de trabajar con f como suave fibration fuera de Y\L, por ejemplo, podemos entonces considerar la representación de \pi_1(Y\L) en cohomology de una fibra.

Ahora, de vuelta a curvas elípticas. De hecho, son los esquemas más Spec Z (oso conmigo si usted no sabe todas las palabras, solo significa que son como X y algo más, es como Y en el ejemplo de arriba) y el denegeracy locus es el submanifold de Spec Z dado por la ecuación N = 0, N siendo el director. Lejos de la 2 y 3, N está definido por esta propiedad, y siendo el número más pequeño.

Así que creo que, desde un punto de vista geométrico, es claro que el conductor de la curva elíptica estaba destinado a aparecer de alguna manera. Ahora hay, por supuesto, extraño y misterioso de las cosas sobre ella, sobre todo de cómo se relacionan esta definición a la que implica modular curvas, pero ese es el próximo paso.

El mismo procedimiento se aplica en realidad a los campos de número, ya que el conductor, de nuevo, es la ramificación locus en Spec Z de el mapa de Spec R no (R siendo el campo de los números enteros). Sin embargo, como fue señalado por algunas personas, el conductor de un campo asociado a la CM de curva elíptica es no es el mismo como el director de orquesta de curva elíptica mismo!