Cómo demostrar a $\zeta'(0)/\zeta(0)=\log(2\pi)$?

Question

¿Cómo puedo probar que $\zeta'(0)/\zeta(0)=\log(2\pi)$ ?

Puedo conseguir $\zeta(0)=-\frac{1}{2}$, pero no sé cómo calcular el $\zeta'(0)=-\frac{1}{2}\log(2\pi)$ ? Me pueden ayudar ?

Aquí $\zeta(s)$ es de Riemann zeta función: $$\zeta(s):=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^s}. $$

Answer 1

Comenzar con $$ \zeta(1-z) = 2 (2\pi)^{z}\cos\frac{\pi z}{2} \Gamma(z)\;\zeta(z) $$ luego tomar la derivada logarítmica. Se puede terminar?

Answer 2

Tal vez usted está interesado en comprobar $(38)$ aquí.

El Wallis fórmula también puede ser escrito como $$\left(4^{\zeta{(0)}} \cdot e^{-\zeta'{(0)}}\right)^2=\frac{\pi}{2}$$ Chris.