Demostrar que $\frac{\pi}{\phi^2}<\frac65 $

Question

Cómo demostrarlo $$\frac{\pi}{\phi^2}<\frac{6}5 $$ de la definición de $\pi$ y $\phi$ ? ( $\pi=4\int_{0}^1\sqrt{1-t^2}dt,\phi=\dfrac{\sqrt5+1}2.$ )

Answer 1

Expresamos $\pi$ y $\phi$ como fracciones continuas simples, se sabe: $$\pi = [3;7,15,1,292,1,1,,1,2,\ldots] \quad\text{ and }\quad \phi = [1;1,1,1\ldots].$$ Los primeros convergentes de $\pi$ y $\phi$ son

$$3, \frac{22}{7}, \frac{333}{106}, \frac{355}{113}, \ldots \quad\text{ and }\quad 1, \frac{2}{1}, \frac{3}{2}, \frac{5}{3} \ldots, \frac{F_k}{F_{k-1}} \ldots$$ donde $F_k$ son los números de Fibonacci. También se sabe que estos convergentes emparedan los valores de $\pi$ y $\phi$ de forma alterna.

$$3 < \frac{333}{106} < \pi < \frac{355}{113} < \frac{22}{7}$$ $$1 < \frac{3}{2} < \cdots < \frac{F_{2k}}{F_{2k-1}} < \phi < \frac{F_{2k+1}}{F_{2k}} < \cdots < \frac{5}{3} < \frac{2}{1}$$

En particular, $\pi < \frac{355}{113}$ y $ \frac{377}{233} = \frac{F_{14}}{F_{13}} = \frac{\phi^{14} - \phi^{-14}}{\phi^{13}+\phi^{-13}} < \phi $ esto implica

$$\frac{5\pi}{6\phi^2} < \frac{5\left(\frac{355}{113}\right)}{6\left(1+\left(\frac{377}{233}\right)\right)} = \frac{82715}{82716} < 1$$