Cómo evitar la superposición de tareas en el círculo de los fractales?

Question

Me había preguntado esto en reddit y alguien me sugirió que tratar aquí:

Suponiendo que el patrón en la imagen de abajo sigue infinitamente, ¿cuánto de cada generación de círculos tienen que disminuir para evitar cualquier solapamiento/colisión. En mi ejemplo, el diámetro de cada círculo es 1/3 de su padre círculo. Como se puede ver que no es lo suficientemente pequeño y la superposición se produce rápidamente.

Answer 1

Mi primera idea fue $r=1/(2+\sqrt{2})$, que es exactamente la correcta factor de escala para el octagasket:

Que conduce a un cuadro como el siguiente, sin embargo:

En esta imagen, el central más grande el círculo tiene radio 1 y el 8 del próximo más grande de los círculos sólo tangente a es el radio $r$. Cada una de las siguientes niño círculo tiene radio de $r$ veces el radio de la matriz. Como se puede ver, los racimos son sólo tocar (como se esperaba), pero no hemos tratado con la superposición con el círculo original de forma adecuada.

Hay tres flechas en el diagrama que indica que el problema de forma explícita: hemos vectores $v_1$, $v_2$, y $v_3$ de las longitudes $1+r$, $(1+r)r$, y $(1+r)r^2$ cada uno de los cuales es una rotación de la anterior a través de un ángulo que es un múltiplo de a $\pi/4$. Suponiendo que nunca paso atrás, el centro de cada círculo puede ser determinado por una suma de estos vectores. Con el fin de evitar la superposición de tareas, debemos asegurarnos de que la suma de estos vectores siempre ha de magnitud mayor que 1. Vemos que esto no suceda, por la opción de $r$.

Podemos escribir esta semi-muy bien el uso de los números complejos. Buscamos un valor de $r$ tal que $$\left|\sum_{k=0}^{\infty} (1+r)r^k e^{\theta_k i}\right| > 1,$$ para cualquier secuencia $(\theta_k)_{k=1}^{\infty}$ donde cada una de las $\theta_k$ es un múltiplo de a $\pi/4$ y no estamos autorizados a doble vuelta (es decir, $\theta_{k+1} \neq \theta_k \pm\pi$). No es demasiado duro para el programa de este en un equipo para encontrar un valor de $r$ donde sólo tenemos contacto. Al hacerlo, me encontré con $$r\approx 0.16605618952678$$ lo que conduce a la siguiente imagen:

He aquí una de zoom:

No sé si hay una forma cerrada. Me hizo examinar la secuencia de rotaciones implican, ya que una simple patrón podría conducir a una forma cerrada. Yo no noto ninguna obvio patrón de tal manera, sin embargo.

Answer 2

Definir la secuencia de $\theta_n$ a,

\begin{cases} 0 \ , & \text{if %#%#%} \\ \cfrac{3\pi}{4}\ , & \text{if %#%#%} \\ \pi \ , & \text{%#%#%} \end{casos}

Visualmente hablando, esta es la secuencia que intenta cruzar de nuevo en el círculo original, el "más difícil". Las excepciones son los $n=0$$n=1$. El ángulo inicial tiene que ser $n \gt 1$. El segundo ángulo no puede ser $\theta_0$ o automáticamente golpea el círculo. Los otros ángulos se $\theta_1$ porque queremos que el ángulo que toma la ruta más directa hacia el círculo, pero termina tocando el borde del primer círculo.

Entonces, como señaló Mark McClure, tenemos una representación con números complejos,

$0$$

Debido a $\pi$$\pi$, debemos analizar si la suma de partida con $$(1) \quad \left|\sum_{k=0}^{\infty} (1+r) \cdot r^k e^{\theta_k i}\right| > 1$.

$\theta_n=\pi$, así que de inmediato,

$n \gt 1$$

Por lo tanto, si sustituimos el valor que se encuentra en $k=2$ a $e^{\pi i}=-1$, obtenemos,

$$(2) \quad \sum_{k=2}^{\infty} (1+r) \cdot r^k e^{\theta_k i}=-\sum_{k=2}^{\infty} (1+r)r^k=\cfrac{r^2 \cdot (r+1)}{r-1}$$

Podemos ampliar el uso de álgebra, yo prefiero las igualdades,

$(2)$$

Más propicio para la manipulación, tenemos,

$(1)$$

Esto es bastante extraño ecuación. Primero de todos, he aquí una parcela de $$(3) \quad \left|(1+r)+(1+r) \cdot r \cdot \cfrac{-\sqrt{2}+\sqrt{2}i}{2}+\cfrac{r^2 \cdot (r+1)}{r-1}\right| > 1$ contra $$(3.9) \quad \sqrt{(2-\sqrt{2}) \cdot r^4+2\sqrt{2} \cdot r^2-(2+\sqrt{2}) \cdot r+1} \cdot \cfrac{r+1}{1-r} = 1$.

Numéricamente, hay tres soluciones, que es inesperado. Tenemos,

$$(4) \quad \left((2-\sqrt{2}) \cdot r^4+2\sqrt{2} \cdot r^2-(2+\sqrt{2}) \cdot r+1\right) \cdot \cfrac{(r+1)^2}{(1-r)^2} = 1$$ $(3.9)$$ y entonces, este... $1$$

Me resulta extraño que dos de las soluciones son tan simples y, a continuación, la tercera es tan complejo.

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Parece que hay tres no negativo soluciones: la complicada $$r=0$ ilustrado, $$r=\phi=\cfrac{\sqrt{5}-1}{2}=0.618...$ (que tiene una interpretación sencilla, como las sumas parciales son todos 1), y $$r=\cfrac{-1}{3}-\cfrac{2\cdot(4+3\sqrt{2})}{3 \cdot \left(26+9\sqrt{2}+3\sqrt{3 \cdot (114+76\sqrt{2})} \right)^{1/3}}+\cfrac{1}{3} \cdot \left(26+9\sqrt{2}+3\sqrt{3 \cdot (114+76\sqrt{2})} \right)^{1/3}=0.1660561895...$ el recíproco de la proporción áurea. En este último caso, la pequeña anexa los círculos de la realidad de la cruz el círculo más grande y táctil en el otro lado. Aquí tenemos una ilustración donde la mayoría de los círculos son altamente translúcido, mientras que el camino que conduce a solo tocar cabe destacar: