$\epsilon$ - $\delta$ definición de límite - menor $\epsilon$ implica una menor $\delta$ ?

Question

La definición en mi libro es la siguiente:

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Dejemos que $f$ sea una función definida en un intervalo abierto que contiene $c$ (excepto posiblemente en $c$ ) y que $L$ sea un número real. El enunciado $$\lim_{x \to c} f(x) = L$$

significa que para cada $\epsilon>0$ existe un $\delta>0$ de manera que si $0<|x-c|<\delta$ entonces $|f(x)-L|<\epsilon$ .

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Con la definición tal y como está, no veo cómo elegir una $\epsilon$ implica un tamaño cada vez más pequeño $\delta$ .

Para mí, para producir esa implicación, tendríamos que restringir $\epsilon$ para ser lo suficientemente pequeño como para forzar $f(x)$ sea estrictamente creciente/decreciente en $(L-\epsilon, L+\epsilon)$ y definir el aumento/disminución sin el uso de derivadas. Sin embargo, eso no forma parte de la definición.

P.D. Por favor, absténgase de utilizar demasiada notación para la lógica, no estoy familiarizado con la mayoría de los símbolos como la A invertida y demás.

Answer 1

En primer lugar, si un mayor $\delta >0$ se encuentra, siempre se puede encontrar una pequeña (por ejemplo $\delta_\epsilon = \min\{\delta, \epsilon\}$ ) para acompañar $\epsilon$ para que coincida con su intuición de que cuanto más pequeño sea el $\epsilon$ cuanto más pequeño sea el $\delta$ .

Por otra parte, hay realmente buenas funciones alrededor que no requieren un $\delta$ Por ejemplo, si $f$ es una función constante, cualquier $\delta >0$ sería suficiente por muy pequeño que sea $\epsilon$ es.

Answer 2

En primer lugar, existen funciones que cada $\delta$ es suficiente para ellos. Por ejemplo, la función constante $$f(x)=2$$

Por otro lado existen funciones que nos obligan a seleccionar lo más pequeño $\delta$ como sea posible. Por ejemplo, tomemos una función estrictamente creciente $f(x)=x+1$ .

El mayor $\delta$ podemos tomar es tal que $f$ intersecta las esquinas del rectángulo creado por cuatro líneas: $x=L\pm\varepsilon$ y $y=c\pm\delta$ . Así que si $\varepsilon$ se encoge, $\delta$ tiene que reducirse también.

Ahora, tomemos una función que no sea monótona, por ejemplo $g(x)=2x^2+1$ .

¿Cómo de pequeño es $\delta$ ¿tiene que ser? Situación similar a la anterior, pero ahora $\delta$ está limitada por las esquinas superiores.

Answer 3

Permítanme señalarles que una función como $x \in (0,+\infty) \mapsto x \sin (1/x)$ desaparece infinitas veces en cualquier vecindad de cero; es imposible hacerla monótona restringiendo su dominio. A pesar de esto, $$ 0 \leq \left|x \sin \frac{1}{x} \right| \leq |x| $$ y por lo tanto $\lim_{x \to 0+} x \sin (1/x)=0$ .

Answer 4

El hecho de que como $\epsilon$ disminuye también $\delta$ generalmente se deduce del comportamiento de la función. Obsérvese que para casi todas las funciones interesantes $\delta$ tendrá que disminuir a medida que $\epsilon$ disminuye. La única excepción son las funciones localmente constantes.

Mientras la función no sea localmente constante en $a$ (y tiene un límite $L$ allí) entonces para cada $\chi>0$ hay algo de $x$ y $\psi>0$ tal que $0<|a-x|<\chi$ y $|f(x)-L|>\psi$ (por lo demás $\forall x\forall \psi>0$ tienes $0<|a-x|<\chi\implies |f(x)-f(a)|<\psi$ así que $f$ es constante en $(a-\chi,a+\chi)\setminus\{a\}$ ). Pero eso significa que si eliges $0<\epsilon<\psi$ entonces $0<\delta<\chi$ .

Sólo para aclarar su comentario sobre $x^2$ no puedes tener tu $\delta$ "aterrizarte" alrededor $-2$ desde $\delta$ limita la distancia de $x=2$ . Si su delta es lo suficientemente grande como para llegar hasta $x=-2$ ( $\delta\geq 4$ ) entonces, a menos que $\epsilon>4$ el punto $x=0$ (que estará dentro de $\delta$ de $x=2$ ) estará demasiado lejos del límite $L=4$ .

Answer 5

Topológicamente hablando, dice que para cualquier vecindad $V(L)$ de $L$ existe una vecindad $W(c)$ de $c$ tal que $f(W(c) \setminus \{c\}) \subseteq V(L)$ . Desde esta perspectiva, topológica, la respuesta a:

No veo cómo la elección de un $ \varepsilon $ implica una cantidad cada vez menor de $ \delta $ .

No debería, ya que de lo contrario tendríamos problemas para definir (por ejemplo) los límites cuando $x \rightarrow +\infty $ donde $W(+\infty)$ es algo así como $(\delta , +\infty)$