¿Por qué las discontinuidades removibles son siquiera discontinuidades?

Question

Si tengo, por ejemplo, la función $$f(x)=\frac{x^2+x-6}{x-2}$$ habrá una discontinuidad removible en $x=2$ ¿Si?

¿Por qué existe esta discontinuidad si la función se puede simplificar a $f(x)=x+3$ ?

Supongo que la respuesta es que no se puede simplificar porque no se puede dividir por algo que podría ser potencialmente igual $0$ .

Pero, ¿y si empiezas con $f(x)=x+3$ ? ¿Qué te impide multiplicarlo por $1$ en la forma $\frac{x-2}{x-2}$ ? ¿Se puede multiplicar por $1$ ¿realmente introduce una discontinuidad en la función?

Answer 1

Todo se reduce a lo que entendemos por un función . Al especificar la función, tenemos que especificar no sólo la "regla", sino también el dominio es decir, ¿qué se puede poner en la función?

En concreto, para responder directamente a su pregunta: si queremos $f(x)=x+3$ que se definirá en $x=2$ entonces no se nos permite decir cosas como $$``f(x)=f(x)\cdot\dfrac{x-2}{x-2},\,''$$ porque la expresión de la derecha no está definida en $x=2$ .

Creo que lo normal es pasar por alto este tipo de cosas en los cursos de introducción al cálculo, porque en esos cursos tendemos a asumir que la función está definida "en todos los lugares en los que tiene sentido" (una mentalidad que es conveniente, pero que conlleva muchos problemas además de éste).

Para ser un poco más explicativo, si se dice que la función $f$ se especifica mediante $$f(x) = \frac{x^{2}+x-6}{x-2},$$ entonces no has especificado la función lo suficiente como para que sea satisfactoria para un tratamiento realmente riguroso. En particular, ¿está su función definida en $x=2$ ¿o no? Dada la forma en que lo has escrito, supondría que no lo es, ya que, como señalas, no podemos dividir por $0$ .

La forma de tratar esto de forma rigurosa es exigir que la definición de la función especifique el dominio. Por ejemplo, se puede decir que $f$ tiene dominio $\mathbb{R}$ y viene dada por $$f(x) = \begin{cases}\dfrac{x^{2}+x-6}{x-2}, & x\neq2, \\ 5, & x=2.\end{cases}$$ Tenga en cuenta que la única razón por la que esto tiene sentido es que su función se especifica para todos los $x$ en el dominio (en particular, está claro que hay, para este valor de $f(2)$ , ninguna discontinuidad). Si hubiéramos dicho " $f$ tiene dominio $\mathbb{R}$ y viene dada por $$f(x) = \dfrac{x^{2}+x-6}{x-2}$$ para todos $x$ ", entonces nos encontraríamos con problemas: afirmamos que $f$ tiene dominio $\mathbb{R}$ pero $2\in\mathbb{R}$ y $f(2)$ no está definido.

Por el contrario, podría especificar su función como la función con, por ejemplo, dominio $[0,1]$ dado por $$f(x)=\dfrac{x^{2}+x-6}{x-2},$$ cuando vemos que, en cierto sentido, no hay discontinuidad en $x=2$ desde $f(2)$ no se ha definido. En este caso, se tiene sentido para decir $$f(x)=f(x)\cdot\dfrac{x-2}{x-2},$$ ya que esta expresión tiene ahora sentido para todos los valores en el dominio de la función . Ahora también tiene sentido hacer la cancelación y decir $f(x)=x+3$ porque nuestro conocimiento del dominio de la función nos asegura que no estamos dividiendo por $0$ .

Answer 2

¿Qué te impide multiplicar [una función continua] por $1$ en la forma $\frac{x−2}{x−2}$ ? ¿Se puede multiplicar por $1$ ¿realmente introduce una discontinuidad en la función?

Ah, pero $\frac{x−2}{x−2}$ es no es igual a $1$ . O, para ser más precisos, sólo es igual a $1$ para los valores de $x$ que son diferentes de $2$ . Si $x=2$ entonces $\frac{x−2}{x−2}$ es indefinido.

Y esa es más o menos la respuesta a tu pregunta: Si tomas una función dada $f(x)$ que es continua en todos los $\mathbb{R}$ y lo multiplicas por una función $g(x)$ que es igual a $1$ en todas partes excepto en un único punto aislado, en el que $g(x)$ es indefinido, entonces el producto $f(x)g(x)$ será exactamente igual que $f(x)$ en todas partes excepto en ese punto, donde también será indefinido.

Answer 3

Ni la función $$f(x)=\frac{x^2+x-6}{x-2}$$ ni la función $g(x)=x+3$ tiene una discontinuidad en $x=2.$ En el primer caso, es porque $f$ no se define en $x=2,$ por lo que no es (continua o discontinua) allí. En este último caso, es continuo allí.

Consideremos ahora la familia de funciones $h_\alpha(x)$ dado por $$h_\alpha(x)=\begin{cases}x+3 & x\ne 2\\\alpha & x=2,\end{cases}$$ donde $\alpha$ es una constante real. La función $h_5(x)$ es simplemente $g(x),$ expresado en una forma más complicada. Para cualquier real $\alpha\ne5,$ $h_\alpha(x)$ tiene una discontinuidad extraíble en $x=2.$ Lo que esto significa es que podemos hacer $h_\alpha(x)$ en una función (diferente) que es continua en $x=2$ eligiendo un valor diferente para $h_\alpha(2).$

Considere la función $i(x)=\frac{x-2}{x-2},$ ahora. Tenga en cuenta que $i(2)$ es indefinido, por lo que $i(x)$ no tiene sentido a menos que $x\ne2.$ Y, por supuesto, para $x\ne2,$ tenemos $i(x)=1.$ Ahora, para multiplicar $g(x)$ por $i(x),$ ambos tienen que ser definidos, por lo que tenemos que exigir que $x\ne 2$ una vez más. Así, mientras $g(x)$ se define en todas partes, $f(x)=g(x)\cdot i(x)$ no lo es.

---

Añadido : Vale la pena señalar que las fuentes a las que enlazaste en los comentarios no están utilizando el definición estándar . (Sin embargo, este abuso de la terminología no es ni mucho menos infrecuente, incluso entre los libros de texto). Además, ¡sus definiciones ni siquiera coinciden entre sí!

El primera fuente (o, al menos, lo que puedo leer de ella) parece adherirse a una definición informal que sugiere la siguiente definición formal:

Una función $f$ tiene un discontinuidad removible en un punto $x_0$ si hay un número $L$ tal que $\lim_{x\searrow x_0}f(x)=L=\lim_{x\nearrow x_0}$ y (i) $f(x_0)$ es indefinido o (ii) $f(x_0)$ se define y no es igual a $L.$ En el primer caso, decimos que $f$ tiene un agujero en $x_0.$ En este último caso, decimos que $f$ tiene un creó una discontinuidad en $x_0$ .

La terminología "agujero" (y esta definición de la misma) es bastante estándar. Sin embargo, la definición de "discontinuidad creada" (un término que nunca había visto antes) ¡es exactamente la definición estándar de "discontinuidad extraíble"!

El gráfico esbozado que se proporciona allí da un ejemplo de un agujero, y la fuente también parece referirse a un gráfico que da un ejemplo de una "discontinuidad creada", pero no es visible para mí.

El segunda fuente Por otra parte, confunde los términos "agujero" y "discontinuidad removible", a diferencia de su primera fuente (que trata los agujeros como casos especiales de discontinuidades removibles) y de los usos estándar (en los que los agujeros y las discontinuidades removibles se excluyen mutuamente). Además, su intento de definición formal es, en el mejor de los casos, informal y, en el peor, autocontradictorio.

Formalmente, una discontinuidad removible es aquella en la que el límite de la función existe pero no es igual al valor de la función en ese punto; esto puede ser porque la función no existe en ese punto.

La parte que precede al punto y coma es la definición habitual, ya que, al hablar de "el valor de la función en ese punto", se da a entender que la función toma un valor único en ese punto ¡! Sin embargo, esto se contradice directamente con la parte que sigue al punto y coma. Por lo tanto, si intentamos hacerlo formal, fracasamos. Si lo dejamos informal, podemos ignorar la implicación y así evitar la contradicción (pero no la posible confusión).

El gráfico que se ofrece allí da un ejemplo de discontinuidad removible (como se suele definir), pero no de un agujero (como se suele definir).

Answer 4

El simple hecho de tachar los factores comunes de la función original no cambia el hecho de que la x no puede existir en x=2...

Al tachar el factor común de (x-2) tanto en el numerador como en el denominador, es necesario afirmar que x no puede ser igual a 2 (de lo contrario, la división del factor común no puede tener lugar; no se puede dividir por cero). Esto explica la discontinuidad extraíble en x=2

Además, cuando se multiplica por $(x-2)/(x-2)$ , estás multiplicando por 1, excepto cuando x es igual a 2... entonces realmente estás multiplicando por algo que no está definido.