Cubrir el espacio Hausdorff implica base del espacio de Hausdorff

Question

Hay un ejercicio problema en Hatcher Topología Algebraica libro pidiendo para demostrar que si $p:\tilde{X}\rightarrow X$ es cubrir el espacio con $p^{-1}(x)$ finito y no vacío de todas las $x\in X$, $\tilde{X}$ es compacto Hausdorff iff $X$ es compacto Hausdorff.

Me las he arreglado para mostrar cada parte de la declaración, excepto para $\tilde{X}$ Hausdorff $\Rightarrow X$ Hausdorff. El problema que me encontré fue que la toma de $x\neq y$ $X$ $\tilde{U},\tilde{V}$ distintos bloques abiertos en $\tilde{X}$ $p^{-1}(x)\subset\tilde{U}$ $p^{-1}(y)\subset \tilde{V}$ (estoy usando la suposición de que $\tilde{X}$ es compacto Hausdorff, lo normal), yo no podría usar estos para obtener distintos bloques abiertos en $X$ separación de $x,y$.

Answer 1

Tomar distintas $y_1 \neq y_2$$X$. A continuación, $F_1 = f^{-1}[\{y_1\}]$ $F_2 = f^{-1}[\{y_2\}]$ son distintos, finito y no vacío de subconjuntos de a $\tilde{X}$. Por Hausdorffness podemos encontrar distintos abrir conjuntos de $U_1$$U_2$$F_1$$F_2$. Deje $O_1$ ser uniformemente cubierto barrio de $y_1$, e $O_2$$y_2$.

Ahora, $f^{-1}[O_1] = \cup_{i=1}^k V_i$, donde el $V_i$ son disjuntas y abierto, $f|V_i$ es un homeomorphism entre el $V_i$ $O_1$ todos los $i$; definir $V'_i = V_i \cap U_1$, y definir $O'_1 = \cap_{i=1}^k f[V'_i]$, que está abierto, como una intersección finita de abiertos conjuntos.

Del mismo modo definimos $W'_i$ a partir de la inversa de la imagen de$O_2$$U_2$, y la intersección de sus imágenes se llama $O'_2$.

Estos $O'_1$ $O'_2$ necesarios son disjuntas abrir barrios como puede comprobarse fácilmente.

Answer 2

Tome $x \neq y$ $X$ y elija $x' \in \tilde X$ la asignación a $x$. Elegir un vecindario $U'$ $x'$ y vecindarios $V_{y'}$ por cada $y' \in p^{-1}(y)$ de manera tal que ninguno de estos barrios se cruzan. Deje $U$ ser la imagen de $U'$$X$. Definir $V$ empujando la $V_{y'}$ $X$primero y luego de intersección.

Mostrar que $U$ $V$ son barrios de $x$ $y$ que no se cruzan.

Edit: Ups, olvidé decir que usted querrá elegir el$V_{y'}$, de modo que no hay dos que se cruzan. He editado mi respuesta anterior para reflejar esto. Usted puede hacer esto mediante la demostración de los siguientes poco lema (si usted no lo sabe ya) y su aplicación a $\{x'\} \cup p^{-1}(x)$.

Lema: Vamos a $Y$ ser Hausdorff y $\{v_1, \ldots, v_n\}$ un conjunto de un número finito de distintos puntos en $Y$. Luego existen los vecindarios $V_i$ $v_i$ de manera tal que no hay dos de la $V_i$ se cruzan.