Puesto que usted está pidiendo la intuición, no voy a dar las pruebas de las afirmaciones a continuación, aunque no son difíciles.
Voy a suponer que usted ya tiene una comprensión intuitiva de lo que la integral de una función de variable medio. Aunque no es técnicamente necesario, las cosas serán más fáciles de imagen si nos imaginamos que los vectores pertenecen al espacio Euclidiano, con un concepto de longitud, ángulos, etc., en lugar de sólo un espacio vectorial.
Supongamos que un integrable (es decir, continuo) el vector de la función$r \colon [a,b] \to \mathbf{R}^n$, y deje $e \in \mathbf{R}^n$ ser un vector. Aunque técnicamente no es necesario para lo que sigue, las cosas serán más fáciles de imagen si tomamos $e$ a tiene longitud de $1$, y piensa en ello como una indicación de una dirección.
Todo lo que voy a decir se basa en los siguientes (verdadero) de la ecuación.
$$\int_a^b r(t) \cdot e \, dt = \left( \int_a^b r(t) \, dt \right) \cdot e$$
Ahora vamos a interpretar esta ecuación. El producto escalar de a $r(t) \cdot e$ nos dice en qué medida el vector $r(t)$ va en el sentido de $e$. Más precisamente, si proyectamos el vector $r(t)$ ortogonal a la línea determinada por $e$, el número de $r(t) \cdot e$ es la longitud de la proyección, junto con un $\pm$ dependiendo de si la proyección es en la misma dirección como $e$ o en el opuesto. Llamaremos a esto la $e$-componente de $r(t)$. Es como si la hemos cortado de $r(t)$ todo excepto de lo que fue en el $e$-dirección.
Con esta terminología en su lugar, podemos hacer la siguiente declaración. Deje $I$ ser el vector integral de la $\int_a^b r(t) \, dt$ cuya interpretación nos interesa. Ahora seleccione cualquier dirección $e$. A continuación, el $e$-componente de $I$ es la integral de la única variable de la función que consiste, en todo momento,$t$, de la $e$-componente de $r(t)$.
En otras palabras, si se corta todo de $r(t)$ salvo lo que está en la dirección de $e$, y luego integrar el resultado de una sola variable de la función, el número que se obtiene es el mismo que se necesitaría para obtener cortando todo de $I$, excepto para lo que es en el $e$-dirección.
Esto caracteriza el vector $I$ completamente, porque si usted sabe lo que el $e$-componente de un vector es en cualquier dirección $e$, entonces usted sabe automáticamente lo que el vector es.
No está claro si se desea una interpretación en general, o específicamente en el caso de que $r(t)$ es un radio vector. En este caso, la dificultad de interpretación de la realidad no está relacionada con el hecho de que es un vector de la función que se está integrando. De hecho, no es tan fácil de interpretar $\int_a^b x(t) \, dt$, en el caso en que la partícula se mueve sólo a lo largo de la $x$-eje. En el caso de una sola variable, como otros han dicho, la integral representa el $b - a$ veces el promedio de desplazamiento. En el vector caso, también es $b-a$ veces el promedio del vector de desplazamiento, donde por "promedio", a la luz de lo anterior, me refiero a que el vector $m$ de las que, para cada dirección,$e$, el número de $m \cdot e$ es el promedio de la partícula (una sola variable), el desplazamiento en el $e$-dirección.