La comprensión intuitiva de la integral de funciones con valores vectoriales

Question

Hoy en clase hemos fueron la introducción de complejos integrales de línea. Y que me puso a pensar, no sé de una buena interpretación para las integrales de las funciones de $\mathbb{R}$ $\mathbb{R}^2$o $\mathbb{R}^3$. Por una buena interpretación me refiero a algunos (posiblemente geométrica) de forma intuitiva comprensión de lo dicho integral significa y por qué es calculado como es.

Es fácil entender por qué, si $\mathbf{r}(t)$ describe la posición de una partícula en el tiempo $t$,$\int_a^b \mathbf{r}'(t)\ dt = \mathbf{r}(b)-\mathbf{r}(a)$, imaginando un montón de pequeños tangentes a la curva de $\mathbf{r}(t)$ sumando. Es más difícil la imagen de lo $\int_a^b \mathbf{r}(t)\ dt$ medio sin el pensamiento de $\mathbf{r}(t)$ como un derivado. ¿Alguien sabe de una interpretación intuitiva para este tipo de integrales?

Answer 1

Básicamente la integración de distancia, lo que le da una cantidad que tiene unidades de (pie)$\times$(), "medidor de segundos" (en metros por segundo).

Pensar en una integral de una función $r(t)$ como el valor promedio de $r_{av}$ de esa función en un intervalo $[a,b]$:

$$r_{av}:=\frac{1}{b-a}\int_a^br(t)dt.$$

Entonces, si su $r(t)$ representa el desplazamiento, su integral es esencialmente el promedio de desplazamiento (que se convierte en un vector de dimensiones superiores), los tiempos de la cantidad de tiempo gastado en movimiento. O, $r_{av}$ es exactamente el desplazamiento promedio en un período de tiempo $[a,b]$.

Tan lejos como la física de las unidades de metro de segundos, yo no he visto esto en cualquier parte de la física fundamental de la cantidad como la velocidad, la fuerza, el impulso, etc.

Answer 2

Si desea una comprensión intuitiva de un integrante $\int_a^b{\bf r}(t)\>dt$ primero tienes que dar algún sentido intuitivo para los productos de la forma $${\bf r}\>\Delta t\ ,\tag{1}$$ donde $t$ es un one-dimensional de variables (no necesariamente el tiempo), $\Delta t$ a un intervalo de longitud en esta variable, y ${\bf r}$ es una constante en el vector.

Dada una interpretación física de $(1)$ entonces podemos prever las situaciones de los siguientes tipos: los que Nos han dado un vector de valores de la función de esta variable $t$ (no necesariamente una representación paramétrica de una curva) $$t\mapsto{\bf r}(t)\qquad(a\leq t\leq b)\ ,\tag{2}$$ y queremos saber el impacto total en el sentido de $(1)$ esta variable vector tiene a lo largo del intervalo de $[a,b]$. Este impacto total se llama la integral de la ${\bf r}(\cdot)$$[a,b]$, y se denota por $$\int_{[a,b]}{\bf r}(t)\>{\rm d}t\ .$$ La integral debe tener las siguientes propiedades: es lineal en ${\bf r}(\cdot)$, aditivo con respecto a la concatenación de los intervalos, y para una constante ${\bf r}(\cdot)$ uno tiene $$\int_{[a,b]}{\bf r}\>{\rm d}t={\bf r}\cdot(b-a)\ .$$ El uso de estos axiomas es fácil ver que para funciones continuas $(2)$ integral $\int_{[a,b]}{\bf r}(t)\>{\rm d}t$ tiene un límite de sumas de Riemann: $$\int_{[a,b]}{\bf r}(t)\>{\rm d}t=\lim_\ldots\>\sum_{k=1}^N {\bf r}(\tau_k)\>(t_k-t_{k-1})\ ,$$ donde uno tiene particiones $$a=t_0<t_1<\ldots<t_N=b$$ y de los puntos de muestreo $\tau_k\in[t_{k-1},t_k]$ en mente.

Tenga en cuenta que estas explicaciones no mencionar la FTC, y tienen sentido, así como para multivariante de funciones definidas sobre dominios $B\subset {\mathbb R}^d$. La FTC y el teorema de Fubini entran en juego cuando en realidad queremos calcular límites de las sumas de Riemann de una manera sistemática.

Answer 3

Puesto que usted está pidiendo la intuición, no voy a dar las pruebas de las afirmaciones a continuación, aunque no son difíciles.

Voy a suponer que usted ya tiene una comprensión intuitiva de lo que la integral de una función de variable medio. Aunque no es técnicamente necesario, las cosas serán más fáciles de imagen si nos imaginamos que los vectores pertenecen al espacio Euclidiano, con un concepto de longitud, ángulos, etc., en lugar de sólo un espacio vectorial.

Supongamos que un integrable (es decir, continuo) el vector de la función$r \colon [a,b] \to \mathbf{R}^n$, y deje $e \in \mathbf{R}^n$ ser un vector. Aunque técnicamente no es necesario para lo que sigue, las cosas serán más fáciles de imagen si tomamos $e$ a tiene longitud de $1$, y piensa en ello como una indicación de una dirección.

Todo lo que voy a decir se basa en los siguientes (verdadero) de la ecuación.

$$\int_a^b r(t) \cdot e \, dt = \left( \int_a^b r(t) \, dt \right) \cdot e$$

Ahora vamos a interpretar esta ecuación. El producto escalar de a $r(t) \cdot e$ nos dice en qué medida el vector $r(t)$ va en el sentido de $e$. Más precisamente, si proyectamos el vector $r(t)$ ortogonal a la línea determinada por $e$, el número de $r(t) \cdot e$ es la longitud de la proyección, junto con un $\pm$ dependiendo de si la proyección es en la misma dirección como $e$ o en el opuesto. Llamaremos a esto la $e$-componente de $r(t)$. Es como si la hemos cortado de $r(t)$ todo excepto de lo que fue en el $e$-dirección.

Con esta terminología en su lugar, podemos hacer la siguiente declaración. Deje $I$ ser el vector integral de la $\int_a^b r(t) \, dt$ cuya interpretación nos interesa. Ahora seleccione cualquier dirección $e$. A continuación, el $e$-componente de $I$ es la integral de la única variable de la función que consiste, en todo momento,$t$, de la $e$-componente de $r(t)$.

En otras palabras, si se corta todo de $r(t)$ salvo lo que está en la dirección de $e$, y luego integrar el resultado de una sola variable de la función, el número que se obtiene es el mismo que se necesitaría para obtener cortando todo de $I$, excepto para lo que es en el $e$-dirección.

Esto caracteriza el vector $I$ completamente, porque si usted sabe lo que el $e$-componente de un vector es en cualquier dirección $e$, entonces usted sabe automáticamente lo que el vector es.

No está claro si se desea una interpretación en general, o específicamente en el caso de que $r(t)$ es un radio vector. En este caso, la dificultad de interpretación de la realidad no está relacionada con el hecho de que es un vector de la función que se está integrando. De hecho, no es tan fácil de interpretar $\int_a^b x(t) \, dt$, en el caso en que la partícula se mueve sólo a lo largo de la $x$-eje. En el caso de una sola variable, como otros han dicho, la integral representa el $b - a$ veces el promedio de desplazamiento. En el vector caso, también es $b-a$ veces el promedio del vector de desplazamiento, donde por "promedio", a la luz de lo anterior, me refiero a que el vector $m$ de las que, para cada dirección,$e$, el número de $m \cdot e$ es el promedio de la partícula (una sola variable), el desplazamiento en el $e$-dirección.