Computación $\int\frac{7x^{13}+5x^{15}}{(x^7+x^2+1)^3}\,dx$

Question

Calcular la integral indefinida

$$ \int\frac{7x^{13}+5x^{15}}{(x^7+x^2+1)^3}\,dx $$

Mi Intento:

$$ \int\frac{7x^{13}+5x^{15}}{x^{21}(x^{-7}+x^{-5}+1)^3}\,dx = \int\frac{7x^{-8}+5x^{-6}}{(x^{-7}+x^{-5}+1)^3}\,dx $$

Deje $t=(x^{-7}+x^{-5}+1)$ tal que

$$ \begin{align} dt&=(-7x^{-8}-5x^{-6})\,dx\\ -dt&=(7x^{-8}+5x^{-6})\,dx \end{align} $$

Podemos cambiar las variables de la integral para obtener

$$ \begin{align} -\int \frac{1}{t^3}\,dt &=\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{t^2}+C\\ &= \frac{1}{2}.\frac{1}{(x^{-7}+x^{-5}+1)^2}+C\\ &= \frac{x^{14}}{2.(1+x^2+x^7)^2}+C \end{align} $$

Yo preferiría que para el cálculo de la integral utilizando los métodos de diferenciación y no de integración, es decir,

$$\frac{7x^{13}+5x^{15}}{(x^7+x^2+1)^3} = \frac{d}{dx} \left(\frac{ax^2+bx+c}{(x^7+x^2+1)^2}\right) $$

pero yo no podía obtener la misma respuesta anterior.

Answer 1

Su primer cálculo es correcto.

Si $P$ es un polinomio de grado $n$, luego $$ \frac{d}{dx} \Biggl(\frac{P(x)}{(x^7+x^2+1)^2}\Biggr)=\frac{P(x)}{(x^7+x^2+1)^3} $$ donde $$ Q(x)=(x^7+x^2+1)P'(x)-2(7\,x^6+2\,x)P(x) $$ es un polinomio de grado $\le n+6$. Para obtener $x^{15}$ en el numerador necesita $n\ge9$ (de hecho, en este caso $n=14$).