En una Introducción al Álgebra Abstracta por Thomas Whitelaw, da algunos ejemplos de la congruencia de la mod de la operación, tales como $13 \equiv5 \pmod4$, e $9 \equiv -1 \pmod 5$. Pero cuando me enteré sobre el modulo de operación en mi primer año, me lo habría dicho que $13 \equiv 1 \pmod 4$,$9 \equiv 4 \pmod 5$.
Se trata simplemente de una diferencia en la definición de modulo? O esto es bastante típico (a no tomar el factor más importante, o uno más)?
Matemáticamente, la congruencia modulo $n$ es una relación de equivalencia. Definimos:
$$a\equiv b \pmod n \iff n\mid (a - b)$$
De forma equivalente: Cuando se trabaja en $\pmod n$, cualquier número $a$ es congruente $\mod n$ a un entero $b$ si existe un entero $k$ que $\;nk = (a - b)$.
Ahora, vamos a comparar las "discrepancias" en las equivalencias de la nota (que son, de hecho, todos los verdaderos):
$$13 \equiv \color{blue}{\bf 1} \pmod 4 \iff 4\mid (13-1) \iff 4\mid 12\; \checkmark$$
$$13\equiv \color{blue}{\bf 5} \pmod 4 \iff 4\mid (13-5) \iff 4\mid 8 \;\checkmark$$
$$9 \equiv \color{blue}{\bf 4} \pmod 5 \iff 5 \mid (9-4) \iff 5\mid 5 \;\checkmark$$ $$9 \equiv \color{blue}{\bf -1} \pmod 5 \iff 5 \mid (9 - (-1)) \iff 5\mid 10 \;\checkmark$$
Es habitual expresar la equivalencia modulo $n$, por la elección de $b$ $\;a \equiv b \pmod n\;$ a ser tal que $0 \leq b \lt n$. Pero esta elección es simplemente un representante de todos los números que pertenecen a la misma clase de equivalencia, que se denota $[b]$, $\pmod n$:
E. g. Si $n = 4$, entonces uno de los siguientes sostiene: $$a \equiv b \pmod 4 \iff \begin{cases} a, b \in [0] = \{4k + 0\mid k\in \mathbb Z\} = \{\cdots, -8, -4, 0, 4, 8, 12,\cdots\} \\ \\ a, b \in [1] = \{4k + 1\mid k \in \mathbb Z\} = \{\cdots, -7, -3, 1, 5, 9, 13,\cdots\} \\ \\ a ,b \in [2] = \{4k + 2\mid k \in \mathbb Z\} = \{\cdots, -6, -2, 2, 6, 10, 14,\cdots\} \\ \\ a, b \in [3] = \{4k + 3\mid k \in \mathbb Z\} = \{\cdots, -5, -1, 3, 7, 11, 15, \cdots\} \end{casos} $$
Todas las ecuaciones que escribió allí arriba son correctos. $13 \equiv 5 \equiv 1 \equiv 1 + 4k \pmod 4$ para cualquier entero $k$. De equipo de científicos tienden a decir que el 'módulo de la operación' devuelve el entero más pequeño entre el $0$ y lo estás modding a cabo. Los matemáticos tomar un poco más alto punto de vista, diciendo: dos números son considerados de la misma si su diferencia es divisible por qué usted está modding a cabo.
Pero yo esperaría una notación diferente. Matemáticamente, $13 \equiv 5 \equiv 1 \equiv 1 + 4k \pmod 4$. En ciencias de la computación, yo esperaría a ver $13 \mod 4 = 1$, o incluso el $13\%4=1$. (En particular, ninguno de los que la relación de equivalencia / sólo hasta equivalencia cosas).
La congruencia, como se describe en su libro de álgebra, es una relación. Tenemos $a\equiv b\pmod{m}$ precisamente si $m$ divide $a-b$. Por lo tanto se cumplen las siguientes: $17\equiv 2\pmod{5}$, $17\equiv 7\pmod{5}$, $17\equiv -13\pmod{5}$, y así sucesivamente.
Usted se reunió con el modulo operador, o el funcionamiento, en su tercer año, probablemente en un curso de informática. Allí, algunas personas escriben $a\bmod m$ para el resto al $a$ se divide por $m$. Por lo tanto $a\bmod m$ es un objeto, un número. Por lo $a\bmod m=b$ significa que $b$ es el resto al $a$ se divide por $m$.
Para hacer las cosas más confusas, a veces escriben $a\bmod m\equiv b$ a significar la misma cosa.
Por lo tanto $17\bmod 5=2$ es verdadera, mientras que $17\bmod 5=12$ es falso, puesto que $12$ no es el resto al $17$ se divide por $5$.
Comentario: La congruencia de la notación de su libro de álgebra vuelve a Gauss. Para hablar $150$ años, la congruencia modulo $m$ es una relación, y todavía lo es en casi toda la matemática.
Habría sido agradable, cuando el Equipo de Ciencias de la gente estaba buscando una notación para el resto, si lo hubiera elegido una notación que no estaba tan cerca notación estándar para algo más. Y lo que es peor, el "algo más" es relativa, garantizando décadas de estudiante confusión. Por suerte, en la mayoría de los lenguajes de computación, "mod" no es utilizado por el resto del operador.
Que fue un poco dura. Así, en un espíritu de cooperación, voy a utilizar ambos conceptos en una sola frase. Si $m$ es un entero positivo, entonces $$a\equiv b\pmod{m} \quad\text{if and only if}\quad a\bmod m=b\bmod m.$$
Sí, en matemáticas, se dice que el modulo de operación separa los números enteros en la congruencia de las clases. Para (mod 3) nos da 3 clases:
$\{ \ldots , -3, 0, 3, \ldots \} $
$ \{ \ldots , -2, 1 ,4 \ldots \} $
$ \{ \ldots , -1, 2, 5 \ldots \} $.
Desde -1 y 5 están en la misma clase, podemos decir que el $ -1 \equiv 5 \, ( \! \! \! \mod 3 ) $.
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