Mostrar que $\displaystyle\int_{-\pi}^\pi\sin mx\sin nx d x=\begin{cases}0&\text{if }m\neq n,\\\pi&\text{if }m=n\end{cases}$ usando integración por partes

Question

Mostrar que $$\int_{-\pi}^{\pi}\sin{mx}\,\sin{nx}\, d x =\begin{cases} 0&\text{if }m\neq n,\\ \pi&\text{if }m=n. \end{casos}$$ usando integración por partes.

He hecho lo siguiente, pero no estoy seguro de si iba en la dirección equivocada, si me equivocaba algunos de cálculo, o si yo estoy casi allí y simplemente no se pueden ver de qué hacer a continuación...

$$\int_{-\pi}^{\pi}\sin{mx}\,\sin{nx} \, d x=-\left(\frac{n}{n^2-m}\right)\sin{mx}\cos{nx}+\left(\frac{m}{n^2-m}\right)\cos{mx}\sin{nx}+C$$

$$=-2\left(\frac{n}{n^2-m}\right)\sin{m\pi}\cos{n\pi}+2\left(\frac{m}{n^2-m}\right)\cos{m\pi}\sin{n\pi}$$

Ahora ... me imagino que si $n=m$, puede reemplazar a todos con un 3er variable... decir $z$...

$$=-2\left(\frac{z}{z^2-z}\right)\sin{z\pi}\cos{z\pi}+2\left(\frac{z}{z^2-z}\right)\cos{z\pi}\sin{z\pi}$$

No se que igual a 0? O estoy totalmente equivocado?

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Además:

Siguiendo las sugerencias que aparecen a continuación y utilizando el producto-suma forumulas, tengo las siguientes:

$$\frac{1}{2}\int\cos{((n-m)x)}\ dx-\frac{1}{2}\int\cos{((n+m)x)}\ dx=\frac{\sin{((n-m)x)}}{2(n-m)}-\frac{\sin{((n+m)x)}}{2(n+m)}$$

Así que ahora si $n=m$, entonces el primer cociente terminará dividiendo por 0...

Answer 1

En primer lugar, desde $\,\sin kx\,$ es una función impar, $\,\sin mx\sin nx\,$ es par, entonces

$$\int\limits_{-\pi}^\pi\sin mx\sin nx\,dx=2\int\limits_0^\pi\sin mx\sin nx\,dx$$

Ahora, por partes:

$$u=\sin mx\;,\;\;u'=m\cos mx\\v'=\sin nx\;,\;\;v=-\frac{1}{n}\cos nx$$

así

$$\text{J:}=2\int\limits_0^\pi\sin mx\sin nx\,dx=\stackrel{\text{this is zero}}{\overbrace{\left.-\frac{2}{n}\sin mx\cos nx\right|_0^\pi}}+\frac{2m}{n}\int\limits_0^\pi\cos mx\cos nx\,dx$$

De nuevo, por partes:

$$u=\cos mx\;,\;\;u'=-m\sin mx\\v'=\cos nx\;,\;\;v=\frac{1}{n}\sin nx\;\;\;\Longrightarrow$$

$$\text{J}=\left.-\frac{2m}{n^2}\sin nx\cos mx\right|_0^\pi+\frac{2m^2}{n^2}\int\limits_0^\pi\sin mx\sin nx\,dx\Longrightarrow$$

$$\left(\frac{n^2-m^2}{n^2}\right)\text{J}=0\;,\;\text{and thus} \;n\neq m\Longrightarrow \text{J}\,=0\,$$

Si $\,n=m\,$ , después de que la línea donde J aparece primero obtenemos

$$2\int\limits_0^\pi\sin mx\sin mx\,dx=2\int\limits_0^\pi\cos mx\cos mx\,dx\Longrightarrow$$ $$2\text{ J}\,=2\int\limits_0^\pi\left(\cos mx\cos mx+\sin mx\sin mx\right)\,dx=2\int\limits_0^\pi \cos[(m-m)x]\,dx=$$

$$=2\int\limits_0^\pi dx=2\pi\Longrightarrow\,\text{ J}\,=\pi$$

Addedd: el Uso de la exponencial compleja:

$$\sin kx:=\frac{e^{ikx}-e^{-ikx}}{2i}\;,\;\;k,x\in\Bbb R\Longrightarrow$$

$$\text{ J}\,=2\int\limits_0^\pi\sin mx\sin nx\,dx=-\frac{1}{2}\int\limits_0^\pi\left(e^{imx}-e^{-imx}\right)\left(e^{inx}-e^{-inx}\right)dx=$$

$$-\frac{1}{2}\int\limits_0^\pi\left[\left(e^{ix(m+n)}+e^{-ix(m+n)}\right)-\left(e^{ix(m-n)}+e^{-ix(m-n)}\right)\right] dx=$$

$$=\int\limits_0^\pi\left(\cos(m-n)x-\cos(m+n)x\right)dx=$$

$$=\begin{cases}\int\limits_0^\pi(dx-\cos2mx)dx=\pi-\left.\frac{1}{2m}\sin 2mx\right|_0^\pi=\pi\;\;,\;\;\;\;m=n\\{}\\{}\\ \left.\left(\frac{1}{m-n}\sin(m-n)x-\frac{1}{m+n}\sin(m+n)x\right)\right|_0^\pi=0\;\;,\;\;\;\;m\neq n\end{cases}$$

Por supuesto, el uso de la exponencial compleja en este caso es una excusa para "olvidar" el trigonométricas básicas de la identidad que tenemos aquí y ponerlo en un lugar de fácil manera.

Answer 2

SUGERENCIA:

Realmente no necesitamos la Integración por partes

Sabemos, $$2\sin mx\sin nx=\cos(m-n)x-\cos(m+n)x$$

$$\cos(m-n)x-\cos(m+n)x=\begin{cases} 1-\cos2nx&\text{ if }m=n,\\ \cos2nx-1&\text{if }m+n=0. \end{casos} $$

Ahora uso $\int\cos axdx=\frac{\sin ax}a$

Answer 3

El uso de $\sin nx = \frac{1}{2i}(e^{inx} - e^{-inx})$ para obtener:

\begin{align} \sin nx \sin mx &= -\frac{1}{4}\left(e^{inx} - e^{-inx}\left)\right(e^{imx} - e^{-imx}\right) \\ &= -\frac{1}{4}\left(e^{i(n+m)x} - e^{i(n-m)x} - e^{i(m-n)x} + e^{-i(n+m)x}\right) \end{align}

Por lo tanto:

\begin{align} I = \int_{-\pi}^\pi \sin nx \sin mx \,dx = -\frac{1}{4} &\left(\int_{-\pi}^\pi e^{i(n+m)x} \,dx - \int_{-\pi}^\pi e^{i(n-m)x} \,dx \right. \\ & \left. - \int_{-\pi}^\pi e^{i(m-n)x} \,dx + \int_{-\pi}^\pi e^{-i(n+m)x} \,dx\right) \end{align}

Tenga en cuenta que: $$ \int_{-\pi}^\pi e^{ikx} \,dx = \begin{cases}0 &\text{ if } k \ne 0 \\ 2\pi & \text{ if } k = 0\end{casos} $$

Esto es la continuación directa de la computación.

Por lo tanto, si $n \ne m$$n \ne -m$, todas las integrales en $I$$0$.

Si $n = m$, tenemos:

$$ I = -\frac{1}{4}(-2\pi -2\pi) = \pi $$

Si $n = -m$, tenemos: $$ I = -\frac{1}{4}(2\pi + 2\pi) = -\pi $$

Si usted asume que $n, m \ge 0$, se puede omitir el último caso.