¿Por qué $x$ se desvanecen en el grupo $\langle x,y\mid x^3, y^3, yxyxy\rangle$?

Question

Esto viene de Artin Segunda Edición, página 219. Artin definidas $G = \langle x,y\mid x^3, y^3, yxyxy\rangle$, y utiliza el Todd-Coxeter Algoritmo para mostrar que el subgrupo $H = \langle y\rangle$ tiene el índice 1, y por lo tanto $G = H$ es el grupo cíclico de orden 3.

Siendo ese el caso, $x$ no puede ser $y$ o $y^2$, para el tercer relación no estaría satisfecho. Por lo que la relación $x=1$ debe seguir de las relaciones. Hay otra manera de ver esto, además de la de Todd-Coxeter algoritmo?

Answer 1

Vamos a ver. Tenemos $yxyxy=1$, por lo que (multiplicando por $y$ a la izquierda) $y=y^2xyxy$, por lo que (cancelación $y$ a la derecha) $y^2xy=x^{-1}$.

También, $yxyxy=1$, lo $yxyxy^2=y$ o $xyxy^2=1$. Por lo $yxy^2=x^{-1}$.

De ello se desprende que $y^2xy=yxy^2$ o $yx=xy$. (Por lo que el grupo Abelian.)

Pero, a continuación,$1=yxyxy=x^2y^3=x^2$. Desde $x^3=1$ así, finalmente, a la conclusión de $x=1$.

Answer 2

Aquí está una manera ... un poco ad hoc.

La idea básica es escribir todos los elementos en términos de $z := yx$. A partir de la tercera relación, podemos ver que $z^2 y = 1$ o $z^2 = y^{-1} = y^2$. Por lo tanto, $y = y^4 = z^4$. Ahora, también podemos escribir $x$ en términos de $z$: $$x = y^{-1} z = y^2 \cdot z = z^8 \cdot z = z^9 .$$ Ahora $x$ $y$ viaje, tanto como las competencias de $z$. (Es un simple ejercicio para demostrar que $x = 1$ a partir de este. La última línea de Andrés respuesta explica esto).

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He aquí un enfoque alternativo, que es lo que yo originalmente seguido. Armados con estas dos identidades, podemos reescribir todos los tres dados relaciones enteramente en términos de $z$:

• $(z^{9})^3 = 1$;
• $(z^{4})^3 = 1$; y
• $z^2 \cdot z^4 = 1$.

A partir de estas observaciones, ya que $\gcd(27, 12, 6)=3$, obtenemos que $z^3 = 1$. Finalmente, conectando de nuevo, obtenemos $x = z^9 = 1$$y = zx^{-1} = z$.

Answer 3

He calculado los poderes de $z = xy$:

$xy$, $y^2$, $x$, $y$, $xy^2$, $x^2$, $xy$, $y^2$, $1$.

Este, en particular, da $z^7 = z$$z^6 = x^2 = 1$, e $x^3 = x^2 = 1$ da $x = 1$.

Todo lo que necesitas de esto, sin embargo es

$z^2 = y^2$
$z^3 = x$

Por lo $1 = y^6 = (z^2)^3 = (z^3)^2 = x^2$, entonces el último paso de $x^3 = x^2 = 1$ implica $x = 1$.

He publicado esta solución, ya que la idea es sólo simplying que "jugando" con los poderes de $xy$ es algebraicamente fácil y te permite hacer cosas. Así que creo que la informática a su "período" de 9 es más perspicaz que solo el listado de resultado final.

Answer 4

En otras palabras, suponiendo que $x^3=y^3=yxyxy=e$, el objetivo es demostrar que el $x=e$.

Tenga en cuenta que $xyx=y^2(yxyxy)y^2=y^4=y$ por lo tanto $xy=(xyx)x^2=yx^2$ $(*)$.

Imagínese que se quiere llevar todos los $y$ $x=xy^3$ para el extremo izquierdo del producto. El uso de $(*)$ dos veces, primero se obtiene $$x=xy^3=(xy)y^2=(yx^2)y^2=yx(xy)y=yx(yx^2)y=y(xy)x(xy),$$ y, de nuevo, usando $(*)$ dos veces, $$x=y(yx^2)x(yx^2)=y^2x^3yx^2=y^3x^2=x^2.$$ Por lo tanto, $x=x^2$$x=e$.

Answer 5

La aplicación de la forma de Artin utilizado, que se ve de la siguiente TC algoritmo que $[G:H]=1$.