Esto viene de Artin Segunda Edición, página 219. Artin definidas $G = \langle x,y\mid x^3, y^3, yxyxy\rangle$, y utiliza el Todd-Coxeter Algoritmo para mostrar que el subgrupo $H = \langle y\rangle$ tiene el índice 1, y por lo tanto $G = H$ es el grupo cíclico de orden 3.
Siendo ese el caso, $x$ no puede ser $y$ o $y^2$, para el tercer relación no estaría satisfecho. Por lo que la relación $x=1$ debe seguir de las relaciones. Hay otra manera de ver esto, además de la de Todd-Coxeter algoritmo?
Vamos a ver. Tenemos $yxyxy=1$, por lo que (multiplicando por $y$ a la izquierda) $y=y^2xyxy$, por lo que (cancelación $y$ a la derecha) $y^2xy=x^{-1}$.
También, $yxyxy=1$, lo $yxyxy^2=y$ o $xyxy^2=1$. Por lo $yxy^2=x^{-1}$.
De ello se desprende que $y^2xy=yxy^2$ o $yx=xy$. (Por lo que el grupo Abelian.)
Pero, a continuación,$1=yxyxy=x^2y^3=x^2$. Desde $x^3=1$ así, finalmente, a la conclusión de $x=1$.
Aquí está una manera ... un poco ad hoc.
La idea básica es escribir todos los elementos en términos de $z := yx$. A partir de la tercera relación, podemos ver que $z^2 y = 1$ o $z^2 = y^{-1} = y^2$. Por lo tanto, $y = y^4 = z^4$. Ahora, también podemos escribir $x$ en términos de $z$: $$x = y^{-1} z = y^2 \cdot z = z^8 \cdot z = z^9 .$$ Ahora $x$ $y$ viaje, tanto como las competencias de $z$. (Es un simple ejercicio para demostrar que $x = 1$ a partir de este. La última línea de Andrés respuesta explica esto).
He aquí un enfoque alternativo, que es lo que yo originalmente seguido. Armados con estas dos identidades, podemos reescribir todos los tres dados relaciones enteramente en términos de $z$:
A partir de estas observaciones, ya que $\gcd(27, 12, 6)=3$, obtenemos que $z^3 = 1$. Finalmente, conectando de nuevo, obtenemos $x = z^9 = 1$$y = zx^{-1} = z$.
He calculado los poderes de $z = xy$:
$xy$, $y^2$, $x$, $y$, $xy^2$, $x^2$, $xy$, $y^2$, $1$.
Este, en particular, da $z^7 = z$$z^6 = x^2 = 1$, e $x^3 = x^2 = 1$ da $x = 1$.
Todo lo que necesitas de esto, sin embargo es
$z^2 = y^2$
$z^3 = x$
Por lo $1 = y^6 = (z^2)^3 = (z^3)^2 = x^2$, entonces el último paso de $x^3 = x^2 = 1 $ implica $x = 1$.
He publicado esta solución, ya que la idea es sólo simplying que "jugando" con los poderes de $xy$ es algebraicamente fácil y te permite hacer cosas. Así que creo que la informática a su "período" de 9 es más perspicaz que solo el listado de resultado final.
En otras palabras, suponiendo que $x^3=y^3=yxyxy=e$, el objetivo es demostrar que el $x=e$.
Tenga en cuenta que $xyx=y^2(yxyxy)y^2=y^4=y$ por lo tanto $xy=(xyx)x^2=yx^2$ $(*)$.
Imagínese que se quiere llevar todos los $y$ $x=xy^3$ para el extremo izquierdo del producto. El uso de $(*)$ dos veces, primero se obtiene $$ x=xy^3=(xy)y^2=(yx^2)y^2=yx(xy)y=yx(yx^2)y=y(xy)x(xy), $$ y, de nuevo, usando $(*)$ dos veces, $$ x=y(yx^2)x(yx^2)=y^2x^3yx^2=y^3x^2=x^2. $$ Por lo tanto, $x=x^2$$x=e$.
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