Hacer dos subconjuntos cerrados de $[0, 1]$ medida $\frac{1}{2}$ se cruzan?

Question

Deje $A$ $B$ dos subconjuntos cerrados de $[0,1]$, cada una con una longitud de $1/2$. Es cierto siempre que $A\cap B\neq \emptyset$?

Mi intuición es que sí, porque:

• Ya sea que se cruzan en su interior;
• O, ellos son interiores disjuntos (es decir,$\operatorname{int}(A) = [0,1]\setminus B$), pero en este caso se le cruzan en su límite.

¿Qué es una prueba formal de esta afirmación?

También, voy a estar agradecido por las referencias que discutir posibles generalizaciones de esta reclamación a más de dos subconjuntos (posiblemente en $\mathbb{R}^n$).

Answer 1

Vamos $A$, $B$ dos subconjuntos cerrados de $[0, 1]$, ambos con medida $\frac{1}{2}$, y supongamos $A\cap B = \emptyset$. Entonces

$$m([0, 1]\setminus(A\cup B)) = m([0, 1]) - (m(A) + m(B)) = 1 - \left(\tfrac{1}{2} + \tfrac{1}{2}\right) = 0.$$

Pero $[0, 1]\setminus(A\cup B)$ es abierta y el único conjunto abierto con medida cero es el conjunto vacío, por lo $[0, 1]\setminus(A\cup B) = \emptyset$; es decir,$A\cup B = [0, 1]$.

Como $A$ $B$ son de dos no-vacío discontinuo conjuntos cerrados con unión $[0, 1]$, $A^c$ y $B^c$ son de dos no-vacío discontinuo abrir conjuntos de la unión,$[0, 1]$. Pero esto es una contradicción, como $[0, 1]$ está conectado. Por lo tanto, $A\cap B \neq \emptyset$.

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El argumento anterior puede ser fácilmente adaptado para probar la siguiente generalización: para cualquier par de subconjuntos cerrados $A$, $B$ de $[0, 1]$ con $m(A) + m(B) = 1$, $A\cap B \neq \emptyset$.

Answer 2

También, voy a estar agradecido por las referencias que discutir posibles generalizaciones de esta reclamación a más de dos subconjuntos a y a $\mathbb{R}^n$.

Parece que el siguiente.

La proposición. Deje $K\subset\Bbb R^n$ ser un cuerpo convexo (es decir, el interior del conjunto $K$ es no-vacío), $K_1,\dots, K_n$ ser finito, de la familia de subconjuntos cerrados de la set $K$ tal que $\sum\mu(K_i)\ge\mu(K)$. No existen diferentes $K_i$ $K_j$ con los no-vacío intersección.

Prueba. Asumir lo contrario. Desde el set $K$ está conectado, el conjunto $\Delta=K\setminus\bigcup K_i$ no está vacía. Desde $\Delta$ es un subconjunto abierto de la parte convexa del cuerpo, $\mu(\Delta)>0$, una contradicción.

Una generalización para el conteo, el número de subconjuntos cerrados falla ya para la unidad de segmento.