La frase "Anomalía de trazas" parece ser utilizada de dos formas diferentes. ¿Cuál es la relación entre las dos?

Question

He visto la frase "Anomalía de traza" referirse a dos conceptos aparentemente diferentes, aunque supongo que deben estar relacionados de alguna manera que no estoy viendo.

La primera forma en que he visto que se usa es, por ejemplo, de manera relevante para el teorema a y el teorema c. Es decir, dado un CFT en un fondo curvado, la traza del tensor energía-momento no es cero debido a las anomalías de traza que relacionan $T^\mu_\mu$ con diferentes curvaturas, es decir (en 4D) $T^\mu_\mu\sim b\square R+aE_4+cW^2$, donde $E_4$ es la densidad de Euler y $W^2$ es el cuadrado del tensor de Weyl.

La segunda forma en que la he visto usar es en el contexto de relacionar $T^\mu_\mu$ con las funciones beta ya que la presencia de una función beta no nula indica dependencia de escala, y por lo tanto, rompe la invarianza conforme. Por ejemplo, Yang-Mills es clásicamente conforme invariante pero se menciona que tiene una anomalía de traza que parece ser de un carácter diferente al del párrafo anterior. Como en el capítulo de anomalías de escala de Peskin y Schroeder, se menciona que dado que el acoplamiento de calibre, $g$, depende de la escala debido a la RG, la teoría no es cuánticamente invariante bajo escala (o más generalmente, supongo, invariante bajo Weyl) y por lo tanto $T^\mu_\mu$ no es cero. Un poco más precisamente, dada la lagrangiana de YM $\mathcal{L}\sim \frac{1}{g^2}{\rm Tr}F^2$, se encuentra $T^\mu_\mu\sim \beta(g){\rm Tr}F^2$, o algo así. Tengo entendido que este segundo tipo de anomalía de traza es importante para explicar la masa de los núcleos, ya que la mayor parte de su masa proviene de la energía gluónica. Eso podría estar mal, sin embargo, y de todos modos no es tan relevante.

¿Cuál es la relación entre estos dos tipos de anomalías? ¿Son lo mismo pero disfrazados?

Answer 1

Una buena analogía para la diferencia entre los dos se puede dar en términos de dos ejemplos de anomalías, que posiblemente sean más familiares.

Considere una teoría de campo con una simetría global, tome $U(1)$ por simplicidad. A nivel clásico, las ecuaciones de movimiento conducen a la existencia de una corriente conservada (teorema de Noether).

En el nivel cuántico, la conservación de la corriente es válida como una ecuación de operador, es decir, es válida en correladores en puntos separados. Los dos efectos, relacionados pero muy diferentes en naturaleza, a los que se hace referencia como anomalías, son:

1) Puede haber términos de contacto en correladores (es decir, términos que no son cero solo cuando dos o más de los operadores en el correlador se evalúan en el mismo punto) que no respetan la ecuación del operador. En la teoría de campo en 4D esto suele ocurrir en correladores de tres operadores de corriente. Esto es a lo que a veces se refiere como anomalía de 't Hooft. No representa una ruptura de la simetría, porque la conservación del operador de corriente aún es válida en puntos separados, y aún se obtiene una carga conservada. Sin embargo, lleva a restricciones interesantes (los coeficientes de tales términos de contacto deben coincidir entre el UV y el IR, si la simetría no se rompe a lo largo del flujo RG).

2) Puede haber efectos cuánticos (puedes pensar en ellos como correcciones en bucle, asumiendo que estamos en un entorno perturbativo) que violan la ecuación del operador incluso en puntos separados. En este caso, la simetría se rompe, al igual que si se agrega un término en el Lagrangiano que no respeta la simetría. Ya no hay una carga conservada.

La relación entre 1) y 2) se puede explicar en un ejemplo ligeramente refinado. Tome la simetría global como $U(1)^2$. Entonces podrías tener una anomalía de tipo 1) en un correlador que involucra una corriente del primer $U(1)$, y dos corrientes del segundo $U(1)$. Ahora suponga que modificando la teoría al acoplar el segundo $U(1)$, es decir, acoplando la corriente del segundo $U(1)$ a campos de gauge dinámicos. En la nueva teoría acoplada, el primer $U(1)$ se rompe por una anomalía de tipo 2). La divergencia de su corriente ahora es distinta de cero, y está dada por la densidad de Pontryagin de los campos de gauge del segundo $U(1)$.

El primer ejemplo de anomalía de traza que discutes es el análogo de 1), mientras que el segundo es el análogo de 2), cuando en lugar de una simetría global $U(1)$ consideramos la simetría de dilatación. El primer ejemplo no representa una violación de la simetría, es solo la afirmación de que ciertos términos de contacto en los correladores con múltiples inserciones del tensor energía-momento no son compatibles con la condición de ser sin trazas. El segundo ejemplo, en cambio, es una violación genuina de la simetría. La analogía con la simetría $U(1)$ no se mantiene cuando intentamos relacionar 1) con 2), porque el equivalente de "acoplar la corriente a un campo de gauge" sería introducir gravedad dinámica, lo que nos aleja del dominio de la teoría cuántica de campos.

Esta analogía se vuelve muy concreta en las teorías supersimétricas. Allí, el tensor de energía-momento pertenece al mismo multiplete que la corriente asociada a la llamada simetría R. La supersimetría relaciona la anomalía de 't Hooft de esta corriente con el primer tipo de anomalía de traza que discute (es decir, tienen el mismo coeficiente). Además, cuando la simetría de dilatación se rompe por un acoplamiento de gauge a través de la anomalía de traza del segundo tipo que discute, entonces la corriente tiene una anomalía de tipo 2). Nuevamente, la anomalía de traza y la anomalía de la corriente tienen el mismo coeficiente por la supersimetría.

Answer 2

Los dos tipos de anomalías de rastro están relacionadas pero son distintas. El primero al que te refieres es la anomalía en las transformaciones de Weyl que ocurre cuando pones una CFT en un fondo curvado. La CFT sigue siendo exactamente invariante conforme en el espacio plano, pero esta simetría se rompe por el campo gravitacional de fondo. Es útil pensar en CFTs en dos dimensiones, como el escalar masivo libre. Para estas teorías, si escalas la métrica por un factor conforme $\exp(2\omega)$, entonces la función de partición es invariante hasta un término de Liouville, $Z[\exp(2\omega)\delta_{ab}]=Z[\delta_{ab}]\exp(\int R\Box^{-1}R)$, donde he omitido factores como 48 y $\pi^2$. Puedes ver esto usando regularización dimensional, si quieres hacer un cálculo.

El segundo tipo de anomalía de rastro del que preguntaste se conoce como anomalía operatoria, y ocurre incluso en el espacio plano. Sucede cuando tienes una teoría que es clásicamente invariante conforme, pero no cuánticamente. Diste el buen ejemplo de una teoría de gauge (¡aunque la teoría de un campo de Maxwell libre en realidad no es una CFT fuera de 4 dimensiones! ver http://arxiv.org/pdf/1101.5385.pdf). Otro buen ejemplo es la teoría de la hoja del mundo para la teoría de cuerdas en un fondo curvado, es decir, un modelo sigma no lineal.

En general, una teoría de campo tiene ambos tipos de anomalías de rastro. Si es una CFT, entonces no tiene el tipo operatorio.

P.D. también preguntaste por aplicaciones de la anomalía de rastro operatoria. Esto es simplemente la función beta de la teoría y de ella se sigue toda la teoría del grupo de renormalización. La aplicación más famosa de esto en la física de partículas es probablemente el uso de la libertad asintótica para entender el comportamiento de alta energía en QCD en acoplamiento débil.