Determinación del límite de una sucesión recursiva

Question

Estaba tratando de calcular el límite de la secuencia definida como

$$a_1=k; a_2=l; a_{n+1}=\frac{a_n+(2n-1)a_{n-1}}{2n}; k, l\in\mathbb{N}k

No tenía idea de por dónde empezar con eso, así que forcé el problema en mi PC para las permutaciones de $(k, l)$ a $a_{10^{10}}$ con la esperanza de que hubiera un patrón emergente. Esto es lo que mi PC piensa que es $a_\infty$ para $(k, l):

$$(1, 2) \Rightarrow 3-\sqrt{2}$$ $$(1, 3) \Rightarrow 5-\sqrt{8}$$ $$(2, 3) \Rightarrow 4-\sqrt{2}$$ $$(1, 4) \Rightarrow 7-\sqrt{18}$$ $$(2, 4) \Rightarrow 6-\sqrt{8}$$ $$(3, 4) \Rightarrow 5-\sqrt{2}$$ $$....$$

Parece que $a_{n\rightarrow\infty}\rightarrow2l-k-(l-k)\sqrt{2}$. ¿Cómo puedo demostrar eso matemáticamente, sin utilizar la fuerza bruta?

Answer 1

Tenemos $$a_{n+1} - a_n = \dfrac{a_n+(2n-1)a_{n-1}}{2n} - a_n = \dfrac{(2n-1)a_{n-1}-(2n-1)a_{n}}{2n} = -\dfrac{2n-1}{2n} \left(a_n-a_{n-1}\right)$$ Sea $b_n = a_{n+1}-a_{n}$. Entonces tenemos $$b_{n+1} = - \dfrac{2n-1}{2n}b_n$$ con $b_1 = l-k$. Entonces tenemos $$b_{n+1}=b_1(-1)^{n} \prod_{k=1}^n \dfrac{2k-1}{2k} = b_1(-1)^n \dfrac{(2n)!}{4^n(n!)^2} = b_1\left(-\dfrac14\right)^n \dbinom{2n}n$$ Tenemos $$a_{n+1} -a_1= \sum_{k=1}^n \left(a_{k+1}-a_k\right) = \sum_{k=1}^nb_k = b_1 \sum_{k=0}^{n-1} \left(-\dfrac14\right)^k \dbinom{2k}k$$ Recuerde que $$\sum_{k=0}^{\infty} \dbinom{2k}k x^k = \dfrac{1}{\sqrt{1-4x}}$$ para $\vert x \vert \leq 1/4$. Sustituyendo $x=-1/4$, obtenemos $$\lim_{n \to \infty} a_{n+1} = a_1 + \dfrac{b_1}{\sqrt2}=k+ \dfrac{l-k}{\sqrt2}$$