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Hace varios años, he tratado de definir la noción de "hyperholomorphy" para las funciones de la quaternionic variable y, como escribí el equivalente de la de Cauchy Riemann ecuaciones para tal "hyperholomorphic" funciones, que obtuvo una matriz de modo que, cuando se multiplica por la izquierda por la métrica del tensor de la relatividad especial (es decir, pasar de una métrica euclidiana a una de lorenz), proporciona una ecuación de onda y ecuación de continuidad, lo que sugiere una fuerte conexión entre los "hyperholomorphic" funciones y física. Me gustaría saber si, la definición de la Riemann Zeta función de cuaterniones y, a continuación, a través de este "metrick" (multiplicando por la métrica del tensor de la relatividad especial), se podría obtener algún tipo de explicación de la famosa observación de Dyson que la fórmula en Montgomery en la correlación de pares conjetura para la Riemann Zeta función era la misma que la de la función de correlación par de azar Hermitian matrices. Por ejemplo, la distribución vertical de la de Riemann ceros RH demostrado ser invariantes bajo la aplicación de la que se considera "metrick"? Una vez más, me disculpo por la falta de claridad de la pregunta, pero sería genial si alguien la podría usar para obtener resultados interesantes acerca de la conexión entre la teoría de números y la física.
Gracias de antemano.
Edit: escribir el análogo de la de Cauchy-Riemann condiciones para un quaternionic función de $P(q)+iQ(q)+jR(q)+kS(q)$ definido para una cuádrupla $q=(t, x, y, z)$ da $(\partial_{t}+i\partial_{x}+j\partial_{y}+k\partial_{z})(P+iQ+jR+kS)=0$ por lo tanto la "hiper-Cauchy-Riemann" de la matriz es:
$M=\begin{pmatrix} \partial_{t} & -\partial_{x} & -\partial_{y} & -\partial_{z} \\ \partial_{x} & \partial_{t} & -\partial_{z} & \partial_{y} \\ \partial_{y} & \partial_{z} & \partial_{t} & -\partial_{x} \\ \partial_{z} & -\partial_{y} & \partial_{x} & \partial_{t} \\ \end{pmatrix}$
de modo que $M.\begin{pmatrix} P \\ Q \\ R \\ S \\ \end{pmatrix}=0$.
Multiplicando por la izquierda por la transposición de $^{4}\nabla=\begin{pmatrix} \partial_{t} \\ \partial_{x} \\ \partial_{y} \\ \partial_{z} \\ \end{pmatrix}$ and then the transpose of the resulting matrix on the left by $\begin{pmatrix} -1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ \end{pmatrix}$ gives $\partial_{t}^{2}=\nabla^{2}$ and $\partial_{x}+\partial_{y}+\partial_{z}=0$, por lo tanto la ecuación de onda y la ecuación de continuidad.
El hecho de que la multiplicación de la matriz $M$ en la de la izquierda $\begin{pmatrix} -1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ \end{pmatrix}$ (es decir, la aplicación de la "metrick") se obtiene la misma matriz con los signos opuestos de los coeficientes de la primera fila muestra que cualquier hyperholomorphic función definida en un euclidiana 4-colector permanece hyperholomorphic cuando se define al corresponsal de lorenz 4-colector. Este es, pues, un invariante de la propiedad cuando se pasa de lo puramente matemático ámbito de la física. La idea clave es la de demostrar que esto es cierto para la distribución vertical de la de Riemann ceros, aquellos que tienen que ser matemático equivalente (he.e en el euclidiana) de los niveles de energía de un átomo (en el de lorenz lado).
