Forma cerrada de $\operatorname{Li}_2(\varphi)$ y $\operatorname{Li}_2(\varphi-1)$

Question

Intento calcular el dilogaritmo de la proporción áurea y su conjugado $\Phi = \varphi-1$ . Por ejemplo, las soluciones de la ecuación $u^2 - u = 1$ . De Wikipdia se desprende lo siguiente

\begin{align*} \operatorname{Li}_2\left( \frac{1 + \sqrt{5}}{2} \right) & = -\int_0^\varphi \frac{\log(1-t)}{t}\,\mathrm{d}t = \phantom{-}\frac{\pi^2}{10} - \log^2\left( \Phi\right) \\ \operatorname{Li}_2\left( \frac{1 - \sqrt{5}}{2} \right) & = -\int_0^\Phi \frac{\log(1-t)}{t}\,\mathrm{d}t = -\frac{\pi^2}{15} - \log^2\left( -\Phi\right) \\ \end{align*}

Estoy bastante seguro de que estos dos valores especiales pueden demostrarse combinando el identidades para el dilogaritmo, y formando un sistema de ecuaciones. Pero estoy teniendo algunos problemas para obtener un conjunto de ecuaciones que sólo implican $\operatorname{Li}_2(\varphi)$ y $\operatorname{Li}_2(\Phi)$ . ¿Puede alguien mostrarme cómo establecer el sistema de ecuaciones a partir de las identidades, o quizás un camino diferente para mostrar estos dos valores?

Answer 1

La identidad dilogarítmica más curiosa e importante es la pentagonal: \begin{align} \mathrm{Li}_2\left(\frac{x}{1-y}\right)+\mathrm{Li}_2\left(\frac{y}{1-x}\right)-\mathrm{Li}_2(x)-\mathrm{Li}_2(y)-\mathrm{Li}_2\left(\frac{xy}{(1-x)(1-y)}\right)=\\ =\ln(1-x)\ln(1-y).\tag{1} \end{align} Denote $\alpha=\frac{\sqrt{5}-1}{2}$ . Entonces es muy fácil comprobar que \begin{align} \left(\frac{x}{1-y},\frac{y}{1-x},x,y,\frac{xy}{(1-x)(1-y)}\right)_{x=y=1-\alpha}&=\left(\alpha,\alpha,1-\alpha,1-\alpha,1-\alpha\right).\tag{2} \end{align} Por otra parte, se tiene $$\mathrm{Li}_2(x)+\mathrm{Li}_2(1-x)=\frac{\pi^2}{6}-\ln x\ln(1-x).\tag{3}$$ Combinando (1), (2) y (3), podemos expresar $\mathrm{Li}_2(\alpha)$ y $\mathrm{Li}_2(1-\alpha)$ en términos de funciones elementales. Se trata de valores especiales básicos a partir de los cuales se pueden deducir los demás.

Ahora en cuanto a los valores que le interesan. La primera de tus fórmulas carece de sentido tal y como está escrita, ya que el dilogaritmo tiene corte de rama $[1,\infty)$ . El segundo está casi bien, si se corrige el signo delante de $\Phi$ a la derecha. Para obtener la evaluación correspondiente, basta con utilizar la identidad $$\mathrm{Li}_2(x)+\mathrm{Li}_2(-x)-\frac12\mathrm{Li}_2(x^{2})=0\tag{4}$$ con $x=\alpha$ y el hecho de que $\alpha^2=1-\alpha$ .

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Adición (para completar): Denotemos $$A=\mathrm{Li}_2(\alpha),\qquad B=\mathrm{Li}_2(1-\alpha),\qquad C=\mathrm{Li}_2(-\alpha),$$ tenemos a partir de las ecuaciones (1)-(4): \begin{align} &2A-3B=\ln^2\alpha,\\ &A+B=\frac{\pi^2}{6}-2\ln^2\alpha,\\ &A+C-\frac12 B=0. \end{align} La solución de este sistema viene dada por \begin{align} &A=\frac{\pi^2}{10}-\ln^2\alpha,\\ &B=\frac{\pi^2}{15}-\ln^2\alpha,\\ &C=-\frac{\pi^2}{15}+\frac12\ln^2\alpha. \end{align}

Answer 2

Esta solución es muy similar a la de @Start wearing purple.

Utilizando identidades (comprobar Ec $3$ , $4$ y $5$ ).

$$\text{Li}_2(1-x)+\text{Li}_2\left(\frac{x-1}{x}\right)=-\frac12\ln^2\left(\frac{1}{x}\right)\tag1$$

$$\text{Li}_2(x)+\text{Li}_2(-x)-\frac12\text{Li}_2(x^2)=0\tag2$$

$$\text{Li}_2(x)+\text{Li}_2(1-x)=\zeta(2)-\ln(x)\ln(1-x)\tag3$$

Si fijamos $x=\frac{\sqrt{5}-1}{2}$ observamos que

$$1-x=\frac{3-\sqrt{5}}{2}$$

$$\frac{x-1}{x}=\frac{1-\sqrt{5}}{2}$$

$$\frac1x=\frac{1+\sqrt{5}}{2}$$

$$x^2=\frac{3-\sqrt{5}}{2}$$

$$\ln(x)\ln(1-x)=2\ln^2\left(\frac{1+\sqrt{5}}{2}\right)$$

Introduciendo estos valores $(1)$ , $(2)$ y $(3)$ obtenemos

$$\color{blue}{\text{Li}_2\left(\frac{3-\sqrt{5}}{2}\right)}+\color{red}{\text{Li}_2\left(\frac{1-\sqrt{5}}{2}\right)}=-\frac12\ln^2\left(\frac{1+\sqrt{5}}{2}\right)$$

$$\text{Li}_2\left(\frac{\sqrt{5}-1}{2}\right)+\color{red}{\text{Li}_2\left(\frac{1-\sqrt{5}}{2}\right)}-\frac12\color{blue}{\text{Li}_2\left(\frac{3-\sqrt{5}}{2}\right)}=0$$

$$\text{Li}_2\left(\frac{\sqrt{5}-1}{2}\right)+\color{blue}{\text{Li}_2\left(\frac{3-\sqrt{5}}{2}\right)}=\zeta(2)-2\ln^2\left(\frac{1+\sqrt{5}}{2}\right)$$

Resolviendo este sistema de ecuaciones, tenemos

$$\color{blue}{\text{Li}_2\left(\frac{3-\sqrt{5}}{2}\right)}=\frac{\pi^2}{15}-\ln^2\left(\frac{1+\sqrt{5}}{2}\right)$$

$$\color{red}{\text{Li}_2\left(\frac{1-\sqrt{5}}{2}\right)}=-\frac{\pi^2}{15}+\frac12\ln^2\left(\frac{1+\sqrt{5}}{2}\right)$$

$$\text{Li}_2\left(\frac{\sqrt{5}-1}{2}\right)=\frac{\pi^2}{10}-\ln^2\left(\frac{1+\sqrt{5}}{2}\right)$$