¿Cuáles son las mayores y las menores contribuciones de la Teoría de Galois de las Matemáticas? Me refiero a las contribuciones directas (como ser aplicadas como aparece en el Álgebra) o simplemente por servir de modelo a otras teorías.
Tengo mis propias respuestas y punto de vista a esta pregunta, pero creo que sería bueno saber tu opinión también.
La teoría de Galois es una de las herramientas fundamentales en la teoría moderna de Diophantine ecuaciones. Por ejemplo, jugó un papel fundamental en la prueba de Mazur del teorema sobre la posible racional de torsión puntos en curvas elípticas más de $\mathbb Q$, en Faltings la prueba de Mordell de la conjetura, en la prueba de Wiles del Último Teorema de Fermat, y en la prueba por Clozel, Harris, y Taylor, de la Sato--Tate conjetura.
Hasta donde yo sé, la más profunda de las contribuciones de la teoría de Galois han sido en esta dirección.
Uno podría buscar en la página web de la Galois bicentenario de la conferencia para más información y enlaces.
La idea detrás de la conexión entre los subgrupos y los subcampos en la Teoría de Galois tiene una amplia gama de aplicaciones; forman un todo el tema de las conexiones de Galois (misma como "la correspondencia de Galois", mencionados por Aaron Mazel-Gee). Véase, por ejemplo, la sección sobre conexiones de Galois en George Bergman es Una Invitación a Álgebra General y Universal de Construcciones (los archivos PostScript, el índice es muy buena, así que busque en el índice bajo "conexión de Galois"). La estructura teorema de los módulos a través de los Pid puede ser visto como una conexión de Galois, como el Zariski correspondencia entre ideales de $k[x_1,\ldots,x_n]$ y variedades en $\mathbb{A}^n(k)$. (El "muy interesante" partes del Teorema Fundamental de la Teoría de Galois, es decir, la que no se sigue de las propiedades generales son las caracterizaciones de los punto de estabilizador de un subcampo como un Grupo de Galois, de los fijos de conjuntos en el campo como el de los subcampos, y de la Galois subextensions como correspondiente a la normalidad subgrupos; la parte comparable en la teoría de la correspondencia entre los ideales y la varietiese es de Hilbert Nullstellensatz, que caracteriza a la "cerrado" ideales como el radical ideales).
Hay varias propiedades que a menudo se demuestra a partir de cero en todas estas situaciones, que en el hecho de seguir a partir de la configuración general. También es reflejado en cierta medida, cuando uno estudia acciones del grupo en general.
La Teoría de Galois en sí tiene un montón de aplicaciones, de curso: teoría algebraica de números usa todo el tiempo para el estudio de los anillos de enteros, a nombre de uno.
El algoritmo de Risch en el Diferencial de la Teoría de Galois puede decidir si una función tiene una elemental primitiva o no y, si lo hace, encontrará.
Uno directos e histórico de la aplicación es la insolvability de la quintic(Abel teorema de Ruffini) . Aparte de que supongo que se utiliza en la Resolución de singularidades (ver el artículo "la resolución de singularidades y modular la teoría de Galois", por S. S. Abhyankar).El Diferencial de la versión de la teoría de Galois respuestas a algunas preguntas acerca de qué tipo de lineal de ecuaciones diferenciales tienen soluciones en forma de funciones elementales.
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