Que uno es más grande $2^{n!}$ o $(2^{n})!$?

Question

Que uno es más grande $2^{n!}$ o $(2^{n})!$ ?

donde $n\in\mathbb N$.

Answer 1

Debemos esperar que el $2^{n!}$ ser mayor. Tenga en cuenta que $(2^n)! \leq (2^n)^{(2^n)} = 2^{(n 2^n)}$. Así que queremos demostrar a $n 2^n < n!$ eventualmente. (Y esto se puede hacer de forma muy sencilla.)

Answer 2

Es suficiente para tomar este límite: $\lim_{n \rightarrow \infty} \frac{2^{n!}}{(2^n)!}$, por la fórmula de Stirling llegamos $\lim_{n \rightarrow \infty} \frac{2^{(\frac{n}{e})^n \sqrt{2 \pi n}}}{(\frac{2^n}{e})^{2^n} \sqrt{2 \pi 2^n}}$, que es asintótica (después de la elevación y tomando logaritmos) a $\lim_{n \rightarrow \infty} \frac{\exp(\frac{n^n}{e^n})}{\exp(2^n 2^{n/2})} = \lim_{n \rightarrow \infty} \frac{\exp(\frac{n^n}{e^n})}{\exp(2^{3/2 n})}$. Ahora, $\frac{n^n}{e^n}$ es mayor que $2^{3/2n}$ (y es fácil de comprobar). Por lo que el límite es infinito, lo que significa que $2^{n!}$ es mayor que $(2^n)!$ si $n$ es grande, por supuesto.

Nota: sé que el asintótica conserva constantes y, aunque omití ellos, es una buena práctica incluir siempre los mismos.

Answer 3

En realidad, $(2^n)!$ es mayor si 1 < n < 4.97399743597. Ver este gráfico para el detalle.

Answer 4

Procediendo de forma directa, podemos responder sin utilizar la fórmula de Stirling. Para empezar nos muestran que $(n-1)!>2^n$ de las grandes n. [por inducción] Primera nota de que $5!>2^6$. A continuación, tomamos nota de que si se aumenta el n por 1, multiplicamos el lado izquierdo por n, y el lado derecho por 2. Puesto que n>2 llegamos a la conclusión de que la izquierda sigue siendo más grande y más grande y más grande n.

Multiplicando por n obtenemos $n!>n2^n$ Reemplazando n por $log(2^{n})$ [usando la base de 2 logaritmos] nos lleva a: $n!>2^{n}log(2^{n})$ Tenga en cuenta que $2^{n}log(2^{n})$= $log(2^{n})$+$log(2^{n})$+$log(2^{n})$+...$log(2^{n})$+$log(2^{n})$

[$2^n$ términos]

$>log(2^{n})$+$log(2^{n}-1)$+$log(2^{n}-2)$+...log(2)+log(1)

[ya que este tiene la misma cantidad de términos, y algunos de ellos son más pequeños.]

=$log(2^{n}!)$ [combinación de registros]

Juntando estas desigualdades nos da que n!>$log(2^{n!})$, y elevar 2 a estos poderes le da $2^{n!}$>$(2^{n}!)$ [para n>5, ya que nuestro inducción sólo nos dijo que $(n-1)!>2^n$ para n>5]

Answer 5

$ 2^{n!}=(2^n)^{(n-1)!} $, por lo que tenemos que comparar el $(2^n)^{(n-1)!} $$ (2^n)! $. Para $n\geq 6$, $(n-1)!>2^n$. Puedo estar equivocado, pero no el resultado se sigue inmediatamente de esto? Esto sigue siendo cierto para$n=5$, aunque, pero no por $n=4$.