Minimización de $\sum \frac{1}{n_k}\ln n_k >1 $ $\sum \frac{1}{n_k}\simeq 1$

Question

Mirando un algoritmo para minimizar $\sum_{k=1}^{m} \frac{1}{n_k}\ln n_k > 1$ $\sum_{k=1}^{m}\frac{1}{n_k} = 1$ que $n_k$ son positivos y, en general, no secuencial de los números enteros, me preguntaba acerca de la más general del problema de encontrar el mínimo de $\sum_{k=1}^{m} \frac{1}{n_k}\ln n_k > 1$$\sum_{k=1}^{m}\frac{1}{n_k} \simeq 1$.

Por ejemplo: $\frac{1}{2}+ \frac{1}{3}+\frac{1}{6} = 1$, e $\frac{1}{2}\ln 2+ \frac{1}{3}\ln 3 + \frac{1}{6}\ln 6 \simeq 1.014$.

También tenemos $\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{8} + \frac{1}{200}+\frac{1}{5000} \simeq .96 $ con

$\frac{1}{2}\ln 2 +\frac{1}{3}\ln 3 + \frac{1}{8}\ln 8 + \frac{1}{200}\ln 200 +\frac{1}{5000}\ln 5000 \simeq 1.0009$.

Hay maneras de pensar acerca de esto? Aunque me gustaría pensar que hay un número finito de soluciones para$(\sum_{k=1}^{m} \frac{1}{n_k}\ln n_k - 1 )< \epsilon_1$$| \sum_{k=1}^{m}\frac{1}{n_k} - 1| \leq \epsilon_2$, y un contable número de soluciones si m puede ser infinito, no veo ninguna forma sistemática de búsqueda de soluciones, incluso en el caso finito.

Gracias por cualquier sugerencia.

Edit: error corregido--sentido de la desigualdad en $\epsilon_1$ expresión fue hacia atrás. Deben ajustarse a la pregunta en el título y el primer párrafo de arriba.

Answer 1

[EDITADO: Esta respuesta no es relevante para la versión actualizada de la que se trate.] Dado cualquier (grande) integer $B$, si vamos a $n_1=B$, ..., $n_m = [eB]$, entonces $$ \sum_{k=1}^m \frac1{n_k} = 1 + O(1/B) $$ pero $$ \sum_{k=1}^m \frac{\ln n_k}{n_k} > \ln B \sum_{k=1}^m \frac1{n_k} > \ln B + O(1). $$ Así que hay un montón de soluciones, donde la suma con ln es mucho mayor que 1.