Deje $f:\mathbb{Q}^n \longrightarrow \mathbb{Q}^n$. Se puede definir lo que significa para tal $f$ a ser diferenciables: (El diferencial será una transformación lineal $\mathbb{Q}^n \longrightarrow \mathbb{Q}^n$)
La definición sobre $\mathbb{R}$ utiliza el hecho de que es una ordenó campo, y la norma de la estructura en $\mathbb{R}^n$. No tenemos el estándar de la norma euclídea en $\mathbb{Q}^n$ (no podemos tomar raíces cuadradas en $\mathbb{Q}$, y la normativa espacios están definidos para ser espacios vectoriales sobre $\mathbb{R}$ o $\mathbb{C}$), pero podemos usar el "racional" $1$-norma en su lugar.
(Esta es sólo una opción que funciona "intrínsecamente", me.e no requieren el uso de números fuera de $\mathbb{Q}$, podemos utilizar otras alternativas de curso).
También podemos decir lo que significa para $f$ a ser continuamente diferenciable: $f=(f_1,\cdots,f_n)$ , $f_i:\mathbb{Q}^n \longrightarrow \mathbb{Q}$, y el $n$ derivadas parciales de $f_i$ funciones $\mathbb{Q}^n \longrightarrow \mathbb{Q}$, y tenemos una noción de continuidad de estas criaturas.
Mi pregunta: Suponga $f:\mathbb{Q}^n \longrightarrow \mathbb{Q}^n$ es continuamente diferenciable, y que $Df(x)$ es invertible para algunos $x\in \mathbb{Q}^n$ . ¿La conclusión del teorema de la función inversa?
Esta pregunta puede ser claramente generalizada arbitrarias ordenadas campos. ¿Esta versión adaptada del teorema sostiene en cualquier lugar, además de a $\mathbb{R}$?
(Sospecho que no ya que las pruebas a las que utiliza la compacidad de una bola cerrada en $\mathbb{R}^n$ o de la asignación de contracción teorema que asumir integridad).
