¿Es una función de Sobolev absolutamente continua con respecto a un segmento de recta?

Question

Dejemos que $p\in [1,\infty]$ y tomar $u\in W^{1,p}(\mathbb{R}^N)$ . Es un resultado bien conocido que $u$ es absolutamente continua (A.C) en un segmento de recta paralelo a los ejes de coordenadas.

Me parece que no hay nada especial en los ejes de coordenadas, así que efectivamente si alguna dirección $v\in \partial B(0,1)$ es fijo, debemos tener que $u$ es (A.C) en un segmento de línea con dirección $v$ . De hecho, dejemos que $T$ sea un mapa ortogonal que envíe $v$ a $e_1=(1,0,...,0)$ .

Dejemos que $w(x)=u(T^{-1}(x))$ . Entonces, $w\in W^{1,p}(\mathbb{R}^N)$ y $w$ es (A.C) en un segmento de línea con dirección $e_1$ . Por definición de $w$ debemos concluir que $u$ es (A.C) en un segmento de línea con dirección $v$ .

Mis preguntas son:

1) ¿Es cierto que una función de Sobolev es (A.C) para un segmento de recta? Si es así, ¿es correcto mi argumento?

2) ¿Se puede generalizar esto para una familia general de curvas? Es decir, supongamos que $\Gamma$ es una familia de curvas (¿Lipszhitz?). ¿Cómo puedo saber si $u$ es (A.C) con respecto a esta familia, es decir $u\circ \gamma$ es (A.C) para $\gamma\in \Gamma$ ? ¿Existe algún tipo de medida $\mu$ que podemos asignar a $\Gamma$ para decir algo como esto: $u$ es (A.C) $\mu$ a.e. $\gamma\in \Gamma$ ?

Answer 1

(1) Sí, su argumento es correcto. El hecho de que la composición con $T^{-1}$ preserva las clases de Sobolev, pero la prueba es inmediata al considerar lo que esta composición hace a las secuencias de Cauchy (wrt $W^{1,p}$ norma) de las funciones suaves.

(2) Sí, y esta generalización es uno de los resultados fundamentales para la teoría de las funciones de Sobolev en espacios métricos (que carecen de la noción de segmento de línea). El enunciado es: para toda familia de curvas $\Gamma$ la composición $u\circ \gamma$ es absolutamente continua para todo $\gamma\in \Gamma\setminus \Gamma\,'$ , donde $\Gamma\,'$ es una familia de curvas con $p$ -módulo cero. Obviamente, esto lleva a la pregunta de cuál es el $p$ -módulo de una familia de curvas... de muchas fuentes disponibles, te remito a la encuesta Espacios de Sobolev en espacios de medida métrica por Hajłasz, específicamente el capítulo 7 y aún más específicamente el teorema 7.13.