Algunas respuestas aquí se acercan a "haz una carrera de matemáticas y luego una de física". Creo que esto no es lo que esperabas. Aprender todas esas materias es factible y natural mientras estás en la universidad, pero tratar de adquirir todos esos conocimientos por tu cuenta en tu tiempo libre, sin profesores, sin clases, sin presiones para hacer exámenes en fechas determinadas... eso es casi imposible.
Dicho esto, creo que entiendo perfectamente lo que quieres, porque alguna vez he tenido la misma pregunta. Soy físico, pero después de mi licenciatura, me di cuenta de que mi comprensión de la RG desde el punto de vista matemático era sólo superficial. Así que investigué sobre la cuestión y finalmente diseñé una bibliografía "paso a paso" que sigo en mi tiempo libre. Aquí la tienes:
1) Empieza con la antigua edición del pequeño libro de Schaum 'Vector Calculus' de Murray M. Spiegel. Comienza con la definición muy básica de vectores de la escuela secundaria, y termina con los símbolos de Christoffel y las geodésicas. Cada capítulo tiene una descripción minimalista de lo esencial, seguida de ejercicios resueltos. Lee sólo la parte descriptiva de los capítulos 1 a 6 (los primeros 3 o 4 capítulos seguramente te serán completamente conocidos, pero es bueno refrescar), y luego trabaja los capítulos completos 7 (coordenadas curvilíneas) y 8 (cálculo tensorial), es decir: estudia los capítulos 7 y 8 con los ejercicios resueltos también.
Trabaja especialmente TODOS los ejercicios resueltos y no resueltos del capítulo 8.
Esto no puede hacer milagros (es decir, no puede sustituir a una licenciatura completa en matemáticas), pero te dará herramientas matemáticas básicas muy útiles en muy poco tiempo. Si puedes hacer una derivada parcial pero no sabes lo que significa "derivar los símbolos de Christoffel en coordenadas esféricas ortogonales", este es el libro con el que tienes que empezar.
2) Después del Schaum, estudia el libro "El sentido de la relatividad" (1922) de Einstein. Es un libro basado en una serie de conferencias que dio en 1921 en Princeton, con explicaciones progresivas desde el cálculo tensorial hasta la cosmología de Friedman, pasando por la relatividad especial y general. Pretende ser autoexplicativo en las matemáticas, pero tendrá mucho más sentido para ti si has trabajado antes el libro de Schaum. Requerirá también algunas miradas cortas a la wikipedia si tu formación en física no es buena (por ejemplo, la ecuación de Poisson o las ecuaciones de Maxwell y su significado cuando las encuentres) pero nada difícil. El único problema de este libro es a veces la notación anticuada o, de vez en cuando, algunos detalles que tendrás que adivinar (por ejemplo, asume c=1 para la relatividad especial y puede ser muy confuso si no te has dado cuenta). Pero es muy estimulante aprender del propio Einstein, y los libros modernos son, en general, o bien demasiado básicos, o bien demasiado sesgados en una dirección.
3) Después de haber trabajado los puntos 1 y 2, me he lanzado a aprender los capítulos 1 a 6 del libro "Relatividad General" de Wald, incluyendo los ejercicios (esto es muy importante) que están resueltos en algún lugar de internet (búsquelo en google). Sin embargo, este es un libro bastante duro, y a veces me arrepiento de no haber utilizado primero otro texto. Así que te recomiendo que cojas aquí el libro "Spacetime and Geometry: An Introduction to General Relativity" de Sean Carroll. No es tan duro como el de Wald pero es riguroso y bien explicado, y la selección de temas es muy interesante.
Otro enfoque bastante directo para aprender la relatividad desde el principio puede ser el libro "A First Course in General Relativity" de Schutz. Este libro es único en su género, porque desarrolla un enfoque geométrico y riguroso, pero progresivo y fácil, de la Relatividad General y su maquinaria matemática, asumiendo que el lector objetivo apenas sabe al principio cómo hacer una derivada parcial y poco menos. Tiene muchos ejercicios cuyas soluciones detalladas son fáciles de encontrar en internet. Los últimos capítulos sobre agujeros negros y cosmología son sólo introductorios, pero si llegas a ellos, estarás en buena posición para iniciar proyectos más ambiciosos (Carroll, Weinberg, etc). De hecho, estoy pensando seriamente en dejar a Wald por el momento, y volver a este libro, que usé parcialmente en la carrera, y trabajarlo desde el principio. Estoy seguro de que Roger Penrose tiene Wald en una mano y lee distraído mientras come sus Corn Flakes por la mañana, como tú y yo hacemos con un periódico, pero para mí sigue siendo demasiado abstracto...
