Este es mi primer post en cuestión aquí, así que espero hacerlo todo bien... me estoy preparando para un examen y, por tanto, tratando de resolver este ejercicio:
Deje $p\in S^n$$v \in T_p S^n$. Calcular la geodésica a través de $p$ con dirección inicial $v$. Anote las variaciones de ésta y calcular el correspondiente variacional de campo. A la conclusión de que $S^n $ constante de la sección transversal de la curvatura de la $1$.
He intentado lo siguiente:
La geodésica es dado por $$\gamma (t)= \exp_p tv.$$
Una variación de este geodésica podría ser algo como esto:
$$f(s,t) = \exp_p t v(s),$$
donde $v(0)=v$, $v'(0)=w$ y $|v|=1$.
El variacional de campo es:
$$V(t)=\frac{\partial f }{\partial s}(0,t)=(d\exp_p)_{tv}(tw).$$
Para el cálculo de la curvatura seccional traté de usar la fórmula para la segunda variación
$$\frac{1}{2}E''(0)=0=-\int_0^\pi \left\langle V, \frac{D^2V}{dt^2}+R(\gamma',V)\gamma '\right\rangle ~dt,$$
donde el lado izquierdo es igual a cero debido a que $f(s,t)$ es una geodésica para todos los $s$.
Luego traté de mostrar, que $\left\langle V, \frac{D^2V}{dt^2}\right\rangle=-1$ ( $\frac{D^2V}{dt^2}=-V$ ) porque me gustaría conseguir $\langle V,R(\gamma',V)\gamma\rangle =1$ . Pero no he podido hacer esto... (lo hice por $S^2$ el uso de los símbolos de Christoffel y consiguió el resultado deseado)
Es todo lo que hice hasta este punto correcto? Y si es así, ¿cómo puedo seguir desde aquí?
Gracias de antemano por cualquier ayuda y lo siento por mi mal inglés :)
