Permítanme darles un ejemplo para mostrar por qué hablar de los números reales y el supremum en los reales es realmente no es una buena idea en general.
Consideremos el conjunto a $\mathfrak{Q}=\mathbb{Q}\cap \Bigl((-\infty,0)\cup[1,\infty)\Bigr)$. Es decir, $\mathfrak{Q}$ se compone de todos los racionales que son negativas, o mayor o igual a $1$.
Ahora vamos a $\mathcal{S}=\{q\in\mathbb{Q}\mid q\lt 0\}$, la negativa racionales.
Observe que $\mathcal{S}$ es un subconjunto de a $\mathfrak{Q}$, y está delimitado por encima de en $\mathfrak{Q}$, ya que el $1\in\mathfrak{Q}$, y para todos los $s\in \mathcal{S}$, $s\leq 1$.
Ahora, permítanme tomar un argumento paralelo al que se está intentando "demostrar" que $S$ no tiene un supremum en $\mathfrak{Q}$: Tome $m=0$; a continuación, $m$ es el supremum de $\mathcal{S}$$\mathbb{R}$. Ahora supongamos que $t\in\mathfrak{Q}$ es un límite superior en $\mathcal{S}$,$t\lt 0$. Entonces, debido a $t\lt 0$ $0$ es el supremum de $\mathcal{S}$ $\mathbb{R}$ existe $s\in \mathcal{S}$ tal que $t\lt s\leq 0$. Por lo $t$ no es una cota superior para $\mathcal{S}$$\mathfrak{Q}$, una contradicción. "Por lo tanto", $\mathcal{S}$ no tiene un supremum en $\mathfrak{Q}$.
Por supuesto, el argumento es completamente falso: porque $1\in\mathfrak{Q}$ es el supremum de $\mathcal{S}$$\mathfrak{Q}$: tenga en cuenta que $s\leq 1$ todos los $s\in \mathcal{S}$; y si $t\in\mathfrak{Q}$ es estrictamente menor que $1$, porque es en $\mathfrak{Q}$ también debe ser estrictamente menor que $0$, de modo que existe $s\in \mathcal{S}$ $t\lt s\leq 1$. Que es:
- Para todos $s\in \mathcal{S}$, $s\leq 1$.
- Para todos los $t\in\mathfrak{Q}$ si $t\lt 1$ existe $s\in \mathcal{S}$ tal que $t\lt s$.
Estas dos propiedades muestran que $1$ es el supremum de $\mathcal{S}$$\mathfrak{Q}$. Observe que $1$ es no el supremum de $\mathcal{S}$$\mathbb{R}$, o incluso en $\mathbb{Q}$. Pero es el supremum de $\mathcal{S}$$\mathfrak{Q}$.
Así que usted debe realmente no uso el supremum de su $S$ $\mathbb{R}$ , excepto tal vez como un "detrás de las escenas" de la guía de lo que usted desea. Que podría ser, al menos en principio, es posible para un subconjunto de a $\mathbb{Q}$ tener un supremum en $\mathbb{Q}$ que es diferente de su supremum en $\mathbb{R}$ (el supremum en $\mathbb{Q}$ tendría que ser más grande que el supremum en $\mathbb{R}$, como en mi ejemplo anterior).
Primero: Ya que usted está diciendo lo $m$ es, usted no debe luego seguir con "existe una $m$ que pertenece a los números reales." Usted acaba de decir ", a Continuación, $m$ pertenece a los números reales y..."
Segundo: Que dijo, que parte de que el argumento es incorrecto.
Para demostrar que un subconjunto $S$ $\mathbb{Q}$ está delimitado por encima de en $\mathbb{Q}$, debe exhibir un elemento $m$ de $\mathbb{Q}$ tal que $s\leq m$ todos los $s\in \mathbb{Q}$. Muestra un elemento no en $\mathbb{Q}$ no muestra el conjunto está delimitado por encima de en $\mathbb{Q}$. Así que tu argumento acerca de la $m$ no funciona.
Tercero: Usted puede llegar a la conclusión de que una cota superior de a $S$ $\mathbb{Q}$ será estrictamente menor que $\sqrt{3}$. Y si usted asume, entonces usted está asumiendo su propia contradicción:
Usted sabe que si $t$ es una cota superior de a$S$$\mathbb{Q}$, entonces por el hecho de estar en $\mathbb{Q}$, $t$ es también en $\mathbb{R}$ y un límite superior a $S$. Y, por tanto, $t$ será mayor o igual que el supremum de $S$ en $\mathbb{R}$, ya que el $S$ también está delimitada por encima de en $\mathbb{R}$. Así que ya sabes que $t\geq \mathrm{sup}_{\mathbb{R}}(S)$. Ahora, $\mathrm{sup}_{\mathbb{R}}(S)$ pasa a ser $\sqrt{3}$, pero no se ha demostrado que este es el caso, por lo que no puede invocar. Y no explicar cómo se puede conseguir que la $\sqrt{3}\leq t$ (presumiblemente desde el supremum de la propiedad, pero no ha demostrado que el $\sqrt{3}$ es el supremum en $\mathbb{R}$, por lo que no puede invocar el supremum de la propiedad para $\sqrt{3}$).
Cuarto: Así que si usted sabe algo acerca de un posible supremum de $S$$\mathbb{Q}$, que es mayor que $\sqrt{3}$ (el supremum de $S$$\mathbb{R}$), ya que debe ser mayor o igual, y no pueden ser iguales. Así que incluso si su argumento acerca de lo que sucede si $t\lt\sqrt{3}$ eran correctos (bueno, técnicamente es porque tu suposición es una imposibilidad, que es la razón por la que usted consigue una contradicción), no se hace; usted todavía tiene que considerar la posibilidad de que el supremum $t$ $S$ $\mathbb{Q}$ es mayor que $\sqrt{3}$, en lugar de los más pequeños.
Añadido. Comentario en 2º intento.
Para mostrar que $S$ está delimitado por encima de en $\mathbb{Q}$, debería producir un elemento de $\mathbb{Q}$ que los límites $S$ por encima. Va alrededor de a $\mathbb{R}$ no lo hace. Su argumento es "gappy", en la que se asume sin que indica que se puede tomar $m$ y producir un racional mayor que $m$ en orden a la conclusión de que no es racional que los límites $S$ por encima. Bien, ¿por qué no producir?
Yo podría argumentar que el conjunto $\{1.5\}$ de los racionales es bordeada por encima de los racionales diciendo: "Bien, $\pi\in\mathbb{R}$ es mayor que todos los elementos de a $\{1.5\}$, y por lo $\{1.5\}$ está delimitado por encima de en $\mathbb{R}$, y por lo tanto $\{1.5\}$ está delimitado por encima de en $\mathbb{Q}$." Pero ¿no es mucho mejor, más clara y más simple, sólo tienes que decir "$2\in\mathbb{Q}$, e $2$ es un límite superior para ${1.5}$"?
Usted se limita a afirmar que $m$ es mayor que o igual a todas las $r\in\mathbb{Q}$; debe ser probada.
Incluso suponiendo que el resto del argumento fuera correcto (no lo es), usted no puede simplemente asumir que $m=\sup(S)$$\mathbb{R}$. Si no demostrarlo, entonces tu argumento es contingente en el extra de asunción. Para completar la prueba, se tendrá también en cuenta el caso en que $m$ es no el supremum de $S$$\mathbb{R}$.
Siguiente: Usted seguir para introducir su propia contradicción cuando se supone que $t$ es tanto una cota superior de a $S$ $\mathbb{Q}$ y $t\lt m$. Que es imposible, para empezar porque usted está asumiendo que $m$ es el supremum de $S$$\mathbb{R}$: cualquier cota superior de a $S$ tiene que ser mayor o igual que el supremum de $S$ (ningún límite superior en $\mathbb{Q}$$\mathbb{R}$). Así que usted tendrá que considerar la posibilidad de que $t\geq m$, lo que nunca haces. Así que incluso si su argumento acerca de la $t$ eran correctos (no), sería incompleta.
Por último: usted se limita a afirmar que "existiría una $r\in S$ tal que $r\gt t$. Sólo el que lo dice no lo prueba. Usted tiene que demostrar que no hay tal cosa.
Aquí está la cuestión aquí: sabes que $S$ tiene un supremum en $\mathbb{R}$; llamarlo $m$. Si $t$ es cualquier elemento de $\mathbb{Q}$ que es una cota superior de a$S$$\mathbb{Q}$, entonces también es una cota superior de a$S$$\mathbb{R}$, por lo que , por definición, de la supremum, debe tener $m\leq t$. Si $m\lt t$, entonces, por las propiedades de los racionales, usted debe demostrar o justificar que no tiene que ser un número $t'$ a que (i) es una cota superior de a $S$; (ii) en $\mathbb{Q}$; y (iii) es estrictamente entre $m$ y $t$, $m\lt t' \lt t$. Eso significa que el único número que tiene la oportunidad de ser el supremum de $S$ $\mathbb{Q}$ $m$ sí, el supremum de $S$ $\mathbb{R}$ (¿por qué? Usted necesita para explicar esto). Así que, a continuación, usted debe demostrar que el supremum de $S$ $\mathbb{R}$ no es un número racional, y que le dará un argumento correcto.
