Cómo demostrar que $\mathrm{SL}(2,\mathbb Z) = \langle A, B\rangle$ ?

Question

Demostrar que si $\mathbf{A}= \left( \begin{array}{cc} 1&1\\ 0&1 \end{array} \right)$ , $\mathbf{B}= \left( \begin{array}{cc} 0&1\\ -1&0 \end{array} \right)$ y $\mathrm{SL}(2, \mathbb{Z}) := \{ \mathbf{C}\in\mathrm{M}(2\times 2;\mathbb{Z})\, |\, \det(\mathbf{C}) = 1\}$ entonces $\langle\mathbf{A}, \mathbf{B}\rangle = \mathrm{SL}(2, \mathbb{Z})$ .

Este ejercicio lo encontré en un libro de texto de álgebra lineal en un capítulo sobre el determinante, por lo que debería resolverse de forma bastante elemental y sin necesidad de profundizar en la teoría de grupos ( $\mathrm{SL}(2, \mathbb{Z})$ se define sólo para el ejercicio). Mostrando $\langle\mathbf{A}, \mathbf{B}\rangle \subseteq \mathrm{SL}(2, \mathbb{Z})$ era fácil, pero me quedé atascado con la dirección opuesta. Cualquier ayuda sería apreciada.

Answer 1

El contenido intuitivo es que la afirmación reclamada se parafrasea a grandes rasgos en "toda matriz entera invertible es un producto de operaciones elementales de filas enteras", con los ajustes apropiados al hecho de que queremos permanecer dentro del determinante 1 en lugar de $\pm 1$ .

La prueba de la afirmación sigue la misma idea que la prueba de que toda matriz invertible (real) es un producto de matrices elementales: demostrar que las operaciones elementales pueden reducir cualquier matriz invertible a la identidad

Los poderes de $\mathbf{A}$ son precisamente las matrices elementales que describen la adición de múltiplos de la segunda fila a la fila superior.

Los poderes de $\mathbf{BAB}^{3}$ son las matrices elementales que describen la adición de múltiplos de la fila superior a la segunda fila.

Utilizando estas operaciones elementales de fila, cualquier 2x2 La matriz entera puede ser reducida por filas (piense en el "algoritmo euclidiano") a una de las siguientes formas:

$$ \left( \begin{matrix} x & y \\ 0 & z \end{matrix} \right) \qquad \left( \begin{matrix} x & y \\ 0 & 0 \end{matrix} \right) \qquad \left( \begin{matrix} 0 & x \\ 0 & 0 \end{matrix} \right) \qquad \left( \begin{matrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{matrix} \right) $$

con $0 \leq y < |z|$ en el primer caso, y $|x| > 0$ en general. Si la matriz original estaba en $SL(2,\mathbf{Z})$ entonces sólo es posible la primera forma y debemos tener $x=z=1$ y por lo tanto $y=0$ .