¿Cuál es la forma correcta de definir una función?

Question

La mayoría de los autores definen las funciones de esta manera:

Dados los conjuntos $A$ y $B$ . Una relación es un subconjunto de $A\times B$ . Entonces, dada una relación $R$ definimos $Dom_R=\{x|(x,y)\in R\}$ y $Img_R=\{x|(y,x)\in R\}$ .

Entonces una función de $A$ a $B$ , $f:A\rightarrow B$ , es una relación con la propiedad de que cada elemento del dominio está relacionado exactamente con un elemento de la imagen, tal que $Dom_f=A$ y $Img_f\subseteq B$ .

Pues bien, si aceptamos esas definiciones, las funciones no son más que conjuntos especiales de pares ordenados (recordemos que las funciones son relaciones y, hasta donde yo sé, esto se enfatiza en la mayoría de los libros). Especificar el conjunto de entradas y el conjunto de salidas sólo es necesario cuando se describen funciones utilizando el axioma de la sustitución de ZFC, pero lo que realmente dicta cuál es el conjunto son sus elementos. Así, por ejemplo, la función \begin {align}f:{0,1\}& \rightarrow \mathbb {R} \\0 & \mapsto2\\1 & \mapsto 3 \end {align} y la función \begin {align}g:{0,1\}& \rightarrow \{2,3\} \\0 & \mapsto2\\1 & \mapsto 3 \end {align} son iguales, ya que ambos son el conjunto $\{(0,2),(1,3)\}$ . El caso es que $g$ se considera una suryección mientras que $f$ no lo es. Y esto es realmente un problema.

Además, el concepto de gráfico de una función $Gr(f)$ que es el conjunto $\{(x,f(x))|x\in Dom_f\}$ pierde su sentido, ya que la gráfica sería la propia función.

No sería mucho mejor definir la función como un triple ordenado $(A,B,f)$ , donde $A$ es el dominio, $B$ el codominio y $f$ la relación con las propiedades descritas anteriormente? Es diferente, ya que $f$ en sí mismo no sería una función, sino sólo el triple ordenado. Entonces podríamos definir $Gr((A,B,f)):=f$ . En este caso, la gráfica de la función sería una relación en lugar de la función. Además, la notación $f:A\rightarrow B$ podría seguir utilizándose para describir $(A,B,f)$ .

Para forzar que la función sea una relación, tendríamos que definir la relación de la misma manera: la relación también sería una triple ordenada $(A,B,R)$ , donde $R \subseteq A\times B$ . Pero en este caso, la relación no es un conjunto de pares ordenados, sino el "gráfico de la relación".

La tercera y última opción es definir tanto la relación como la función como un conjunto de pares ordenados, como es habitual. Pero aunque la inyectabilidad es una propiedad de una función, la subjetividad sería más bien una relación entre una función $f$ y otro conjunto dado $B$ llamado codominio.

¿Lo estoy entendiendo bien? Si es así, ¿cuál es la mejor manera de definir la función? ¿Definir la función no como una relación sino como un triple o definir la relación no como un conjunto de pares ordenados sino como un triple? ¿O otra opción?

Answer 1

Una forma de proceder es la siguiente, partiendo del concepto de pareja ordenada definida teóricamente en la forma habitual.

Definimos cuándo un conjunto es un relación :

$R \text { is a relation } \ ↔ ∀z(z \in R → ∃x \ ∃y \ (z = \langle x,y \rangle \ ))$ .

Así, un relación es un conjunto de parejas ordenadas .

Como es habitual, escribimos $xRy$ para $\langle x,y \rangle \in R$ .

Definimos :

$\mathcal {Dom}_R = \{ x : \exists y \ (x R y) \}$

y :

$\mathcal {Img}_R = \{ y : \exists x \ (x R y) \}$ .

A continuación, definimos cuándo una relación es función :

$f \text { is a function } ↔ f \text { is a relation } \land ∀x \ ∀y \ ∀z \ (xfy ∧ xfz → y=z)$ .

Hasta ahora, ningún " $A$ s" ni " $B$ s".

Entonces decimos :

$f \text { is a function from } A \text { into } B \leftrightarrow f \text { is a function } \land \mathcal {Dom}_f=A \land \mathcal {Img}_f \subseteq B$ ;

$f \text { is a function from } A \text { onto } B \leftrightarrow f \text { is a function } \land \mathcal {Dom}_f=A \land \mathcal {Img}_f = B$ .

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Ver : Patrick Suppes, Teoría axiomática de conjuntos (1960), página 88.

Ver también : Kenneth Kunen, Los fundamentos de las matemáticas (2009), página 24-25.

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En cuanto a su ejemplo, con este enfoque tenemos que $f=g$ , donde $f$ es una función de $\{ 0,1 \}$ en $\mathbb R$ , mientras que $g$ es una función de $\{ 0,1 \}$ en $\{ 2,3 \}$ .

En este caso, surjectivity no es una propiedad "intrínseca" de $g$ la aplicabilidad de la palabra "sobre" depende tanto de $g$ y en el plató $B$ no sólo en $g$ .

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Por supuesto, es posible un enfoque diferente; véase :

• Robert Goldblatt, Topoi : El análisis categorial de la lógica (2ed - 1984) , página 19 :

modificar la definición de la función de la siguiente manera. En primer lugar, para los conjuntos $A$ y $B$ definimos el conjunto de productos o Producto cartesiano de $A$ y $B$ para ser el conjunto de todos los pares ordenados cuyos primeros elementos están en $A$ y los segundos elementos en $B$ . Esto se denomina $A \times B$ y así

$$A \times B = \{ \langle x, y \rangle : x \in A \land y \in B \}.$$

Una función se define ahora como un triple $f = \langle A, B, R \rangle$ , donde $R \subseteq A \times B$ es una relación de $A$ a $B$ (el gráfico de $f$ ), de manera que para cada $x \in A$ hay uno y sólo uno $y \in B$ para lo cual $\langle x, y \rangle \in R$ . Así, el dominio ( $A$ ) y el codominio ( $B$ ) se incorporan a la definición de una función desde el principio.

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Con este enfoque, los dos "objetos $\langle \{ 0,1 \}, \mathbb R, f \rangle$ y $\langle \{ 0,1 \}, \{ 2,3 \}, f \rangle$ no son la "misma" función.

En este segundo caso, surjectivity es una propiedad "intrínseca" de $\langle \{ 0,1 \}, \{ 2,3 \}, f \rangle$ .

Answer 2

La razón por la que su $g$ es suryente y su $f$ no es, usando su definición de función, es que la relación $g$ se toma de $\{0,1\}\times\{2,3\}$ mientras que $f$ se toma de $\{0,1\}\times\mathbb R$ .

Así que $\operatorname{Img}_g$ cubre $\{2,3\}$ pero $\operatorname{Img}_f$ no cubre $\mathbb R$ .