Esta es una pregunta muy básica, y es curioso que soy capaz de resolver problemas más avanzados como este, pero me presentaron uno básico y me quedé perplejo. Tengo la ecuación $$y=-\frac{3}{4}x+6.$$ En $\mathbb{R}^2$ esto es una línea. Quiero encontrar una parametrización de esta línea. Supongo que el problema aquí es que nunca entendí realmente el concepto de parametrización. Soy un robot, sigo los pasos que me dice el libro, pero no entiendo la intuición que hay detrás. ¿Cuál es el sentido de la parametrización (en términos sencillos, que es difícil de encontrar en cualquier lugar), y cómo lo haría para esta ecuación?
Respuestas
¿Demasiados anuncios?
Piense que una parametrización describe el "trazo" de la curva, con $t$ representando el tiempo. Quieres escribir ecuaciones \begin {align*} x &= f(t), \\ y &= g(t) \end {align*} que describen a alguien que traza la línea como $t$ varía.
¿Cómo trazarías la gráfica de una función $y=g(x)$ ? Bien, los puntos del gráfico son todos de la forma $(x,g(x))$ por lo que lo más sencillo es utilizar una parametrización como \begin {align*} x &= t, \\ y &= g(t). \end {align*} Si piensas en lo que los puntos $(x(t),y(t))$ como $t$ oscila entre $a$ a $b$ , verá que está dando la gráfica de $y=g(x)$ de $x=a$ a $x=b$ .
Eso te da una forma de dar la línea.
Otra opción es elegir un punto de la línea y decir simplemente "ve en esta dirección, hacia adelante o hacia atrás". Una dirección viene dada por un vector $(u,v)$ . Así que si su línea pasa por el punto $(a,b)$ y tiene dirección $(u,v)$ entonces una posible parametrización sólo dice: "empezar en $x=a$ y $y=b$ y luego mover $x$ y $y$ en la dirección $(u,v)$ Si te mueves en el $x$ dirección por $ku$ Entonces, debe moverse en el $y$ dirección por $kv$ ." Es decir, \begin {align*} x &= a + tu \\ y &= b + tv. \end {align*} Puedes hacerlo con la gráfica que tienes arriba determinando un punto y una dirección. Para la dirección: la pendiente de la recta con dirección $(u,v)$ es $\frac{v}{u}$ porque $v$ es la subida y $u$ es la carrera.
Bushibytes
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Puede que esté entendiendo mal tu pregunta, pero tienes una parametrización dada por tu ecuación:
$$ x\mapsto (x,-\frac 34 x+6) $$
o si quieres algo con coeficientes enteros:
$$ t\mapsto (4t, 6-3t).$$
El objetivo de la parametrización es, por un lado, reducir el número de variables con las que se trabaja (en este caso, de dos: $x,y$ a uno $t$ ), pero lo más importante es que haces un implícito situación, es decir, la definida por las ecuaciones en un explícito una, es decir, una forma de generar las soluciones.
En este caso el punto quizás no es obvio porque la ecuación es muy simple, pero imagina que si tienes una ecuación muy difícil entonces cuánto más fácil es trabajar con las soluciones cuando se te da una manera de generarlas (es decir, por una parametrización) que cuando simplemente se dan como las soluciones de la ecuación.
Quizás un mejor ejemplo para trabajar son las soluciones de la ecuación $$ x^2+y^2=1.$$ Una posible parametrización es $$t\mapsto (\cos t, \sin t).$$
La triste verdad sobre las parametrizaciones es que en realidad rara vez existen. Supongo que se puede interpretar esto como que si puedes encontrar una parametrización, entonces deberías estar contento.
Anexo Para responder a la pregunta de los comentarios: Imagina que tienes que resolver un sistema de ecuaciones en dos variables. En otras palabras, tienes dos curvas dadas por su ecuación en el plano y tienes que encontrar sus puntos de intersección. Si puedes parametrizar una de ellas, entonces puedes enchufar la parametrización en la otra y resolver una ecuación de una sola variable. Aquí tienes un ejemplo:
Digamos que necesitas encontrar la solución del sistema de ecuaciones $$ x^2+y^2=0 \qquad 2x^3y-2xy^3=1.$$ (esta es una elección bastante aleatoria)
Si te limitas a ir de cabeza a la pared, podrías resolver la primera como una ecuación cuadrática e introducirla en la segunda y acabar con una ecuación de grado seis. Buena suerte con eso. (En realidad, puede que se pueda resolver en este caso, no tengo ni idea, pero en general una ecuación de grado seis no se puede resolver con una fórmula).
Por otro lado, si se utiliza la parametrización de la primera ecuación dada anteriormente, se obtiene la ecuación $$ 2\cos^3t\sin t-2\cos t\sin^3 t=1.$$ Esto puede reducirse fácilmente a $$\sin 4t =\frac 12$$ que puede resolverse fácilmente.
La cuestión es que la parametrización te ayudó a resolver un sistema de ecuaciones que normalmente sería muy difícil o imposible de resolver explícitamente.
Hyangelo
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Hay una cantidad infinita de formas de parametrizar esta línea. Una buena forma sería dejar que, por ejemplo
$$\displaystyle x=t$$
sustituyendo x por t en la primera ecuación, se sabe que
$$\displaystyle y=-\frac{3}{4}t+6$$
¡Y ahí está!
Cuando quieras parametrizar una ecuación, empieza dejando que una de tus variables sea igual a t, y luego resuelve para la(s) otra(s) variable(s), sustituyendo t en la ecuación.
Fíjate en la gran explicación de Arturo Magidin, quieres pensar en la posición de una partícula en algún momento $t$ .
